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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 da FUVEST 2016

1ª fase · Física: Movimento circular uniforme e transmissão de movimento

Quando a Lua está em quarto crescente ou quarto minguante, o triângulo formado pela Terra, pelo Sol e pela Lua é retângulo, com a Lua no vértice do ângulo reto. O astrônomo grego Aristarco, do século III a.C., usou este fato para obter um valor aproximado da razão entre as distâncias da Terra à Lua, d_L, e da Terra ao Sol, d_S.

Representação esquemática do sistema Terra-Lua-Sol, mostrando a Terra com a órbita circular da Lua ao seu redor e o Sol à direita. Na órbita lunar, estão indicadas as posições de quarto crescente (acima) e quarto minguante (abaixo), com segmentos retos ligando-as ao Sol e à Terra, com distância Terra-Lua indicada por d_L e Terra-Sol por d_S. Os ângulos entre a linha Terra-Sol e os raios até as posições crescente e minguante são ambos identificados por alfa. Arcos com setas indicam os tempos de percurso da órbita: t_1 para o trajeto de crescente a minguante pelo lado oposto ao Sol, e t_2 para o trajeto de minguante a crescente pelo lado voltado para o Sol. No canto inferior direito, há uma caixa com o texto: "Representação simplificada com Terra e Sol fixos."

É possível estimar a medida do ângulo \alpha, relativo ao vértice da Terra, nessas duas fases, a partir da observação de que o tempo t_1, decorrido de uma lua quarto crescente a uma lua quarto minguante, é um pouco maior do que o tempo t_2, decorrido de uma lua quarto minguante a uma lua quarto crescente. Supondo que a Lua descreva em torno da Terra um movimento circular uniforme, tomando t_1 = 14{,}9 dias e t_2 = 14{,}8 dias, conclui-se que a razão d_L/d_S seria aproximadamente dada por

  1. A
    \cos 77{,}7^\circ
  2. B
    \cos 80{,}7^\circ
  3. C
    \cos 83{,}7^\circ
  4. D
    \cos 86{,}7^\circ
  5. E
    \cos 89{,}7^\circ
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Resolução comentada

No triângulo Terra-Lua-Sol, o ângulo reto está na Lua. O ângulo \alpha fica na Terra, entre a direção do Sol e a da Lua. O cateto adjacente a \alpha é d_L e a hipotenusa é d_S, então:

\cos\alpha=\frac{d_L}{d_S}

Falta achar \alpha a partir dos tempos. Com movimento circular uniforme, o ângulo varrido é proporcional ao tempo.

Pela figura, o arco de t_2 é o que passa pelo lado do Sol e mede 2\alpha. O arco de t_1 é o lado oposto e mede 360^\circ-2\alpha.

  1. Período total: t_1+t_2=14{,}9+14{,}8=29{,}7 dias, que correspondem a 360^\circ.
  2. Proporção para t_2: \dfrac{2\alpha}{360^\circ}=\dfrac{14{,}8}{29{,}7}.
  3. Então 2\alpha=\dfrac{14{,}8}{29{,}7}\cdot 360^\circ\approx 0{,}4983\cdot 360^\circ\approx 179{,}4^\circ.
  4. Logo \alpha\approx 89{,}7^\circ.

Assim, \dfrac{d_L}{d_S}=\cos 89{,}7^\circ, um valor bem pequeno, o que indica que o Sol está muito mais longe que a Lua.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AÂngulo de 77{,}7^\circ não sai da proporção entre t_2 e o período total.
  • BÂngulo de 80{,}7^\circ não corresponde a t_2/(t_1+t_2) de 360^\circ.
  • CÂngulo de 83{,}7^\circ vem de erro na proporção, pois o tempo t_2 daria um ângulo maior.
  • DÂngulo de 86{,}7^\circ também não resulta da proporção dos tempos dados.

Assuntos: Movimento circular uniforme e transmissão de movimento, Astronomia e cosmologia.

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