Questão 12 da FUVEST 2016

1ª fase

Quando a Lua está em quarto crescente ou quarto minguante, o triângulo formado pela Terra, pelo Sol e pela Lua é retângulo, com a Lua no vértice do ângulo reto. O astrônomo grego Aristarco, do século III a.C., usou este fato para obter um valor aproximado da razão entre as distâncias da Terra à Lua, d_L, e da Terra ao Sol, d_S.

Representação esquemática do sistema Terra-Lua-Sol, mostrando a Terra com a órbita circular da Lua ao seu redor e o Sol à direita. Na órbita lunar, estão indicadas as posições de quarto crescente (acima) e quarto minguante (abaixo), com segmentos retos ligando-as ao Sol e à Terra, com distância Terra-Lua indicada por d_L e Terra-Sol por d_S. Os ângulos entre a linha Terra-Sol e os raios até as posições crescente e minguante são ambos identificados por alfa. Arcos com setas indicam os tempos de percurso da órbita: t_1 para o trajeto de crescente a minguante pelo lado oposto ao Sol, e t_2 para o trajeto de minguante a crescente pelo lado voltado para o Sol. No canto inferior direito, há uma caixa com o texto: "Representação simplificada com Terra e Sol fixos."

É possível estimar a medida do ângulo \alpha, relativo ao vértice da Terra, nessas duas fases, a partir da observação de que o tempo t_1, decorrido de uma lua quarto crescente a uma lua quarto minguante, é um pouco maior do que o tempo t_2, decorrido de uma lua quarto minguante a uma lua quarto crescente. Supondo que a Lua descreva em torno da Terra um movimento circular uniforme, tomando t_1 = 14{,}9 dias e t_2 = 14{,}8 dias, conclui-se que a razão d_L/d_S seria aproximadamente dada por

  1. A
    \cos 77{,}7^\circ
  2. B
    \cos 80{,}7^\circ
  3. C
    \cos 83{,}7^\circ
  4. D
    \cos 86{,}7^\circ
  5. E
    \cos 89{,}7^\circ
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