Questão 52 da FUVEST 2015
Dadas as sequências a_n = n^2 + 4n + 4, b_n = 2^{n^2}, c_n = a_{n+1} - a_n e d_n = \frac{b_{n+1}}{b_n}, definidas para valores inteiros positivos de n, considere as seguintes afirmações:
I. a_n é uma progressão geométrica;
II. b_n é uma progressão geométrica;
III. c_n é uma progressão aritmética;
IV. d_n é uma progressão geométrica.
São verdadeiras apenas
- AI, II e III.
- BI, II e IV.
- CI e III.
- DII e IV.
- EIII e IV.
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Resolução comentada
Vamos testar cada sequência, lembrando: PA tem diferença constante entre termos consecutivos; PG tem razão constante.
I. a_n = (n+2)^2. Os primeiros termos são a_1 = 9, a_2 = 16, a_3 = 25. As razões são 16/9 e 25/16, diferentes. Não é PG. Falsa.
II. b_n = 2^{n^2}: b_1 = 2, b_2 = 16, b_3 = 512. As razões são 8 e 32, diferentes. Não é PG. Falsa.
III. c_n = a_{n+1} - a_n = (n+3)^2 - (n+2)^2 = 2n + 5. Então c_{n+1} - c_n = 2, constante. É PA de razão 2. Verdadeira.
IV. d_n = \frac{2^{(n+1)^2}}{2^{n^2}} = 2^{2n+1}. Então \frac{d_{n+1}}{d_n} = \frac{2^{2n+3}}{2^{2n+1}} = 2^2 = 4, constante. É PG de razão 4. Verdadeira.
São verdadeiras apenas III e IV.
Alternativa E.
Pegadinha: A expressão 2^{n^2} sugere PG por ser uma potência de base 2, mas o expoente é quadrático e a razão b_{n+1}/b_n = 2^{2n+1} varia com n (a alternativa D engana por isso).
Por que as outras alternativas estão erradas
- AConsidera I e II verdadeiras, mas as razões entre termos consecutivos de a_n e b_n não são constantes.
- BAceita I e II como PG e ignora que III também é verdadeira.
- CToma I como PG, mas a_n é um quadrado perfeito, cuja razão varia (16/9 \neq 25/16).
- DToma II como PG (a potência engana) e deixa de fora a PA c_n = 2n+5.
Assuntos: progressão aritmética, progressão geométrica.
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