Questão 51 da FUVEST 2015

1ª fase

Sabe-se que existem números reais A e x_0, sendo A > 0, tais que

\sen x + 2\cos x = A\cos(x - x_0)

para todo x real. O valor de A é igual a

  1. A
    \sqrt{2}
  2. B
    \sqrt{3}
  3. C
    \sqrt{5}
  4. D
    2\sqrt{2}
  5. E
    2\sqrt{3}
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Resolução comentada

Use a fórmula do cosseno da diferença para abrir o lado direito:

A\cos(x - x_0) = A\cos x\cos x_0 + A\sen x\sen x_0

Como a igualdade vale para todo x, os coeficientes de \sen x e de \cos x precisam ser iguais nos dois lados:

  1. Coeficiente de \sen x: A\sen x_0 = 1
  2. Coeficiente de \cos x: A\cos x_0 = 2

Para eliminar x_0, eleve as duas equações ao quadrado e some:

A^2\sen^2 x_0 + A^2\cos^2 x_0 = 1^2 + 2^2

Colocando A^2 em evidência e usando \sen^2 x_0 + \cos^2 x_0 = 1:

A^2 = 5

Como A > 0, temos A = \sqrt{5}.

Verificação rápida: em x = 0, o lado esquerdo vale 0 + 2 = 2 e o direito vale A\cos x_0 = 2, o que confere com a equação 2.

Em geral, a\sen x + b\cos x tem amplitude \sqrt{a^2+b^2}, aqui \sqrt{1+4}.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACalcula \sqrt{1^2+1^2}, ignorando o coeficiente 2 do cosseno.
  • BResulta de \sqrt{1+2}, somando os coeficientes sem elevá-los ao quadrado.
  • DCorresponde a A^2=8, valor que não sai de 1^2+2^2.
  • ECorresponde a A^2=12, sem relação com 1^2+2^2.

Assuntos: equação trigonométrica, cosseno da diferença, amplitude de senoide.

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