Questão 50 da FUVEST 2015
No sistema linear \begin{cases} ax - y = 1 \\ y + z = 1 \\ x + z = m \end{cases}, nas variáveis x, y e z, a e m são constantes reais. É correto afirmar:
- ANo caso em que a = 1, o sistema tem solução se, e somente se, m = 2.
- BO sistema tem solução, quaisquer que sejam os valores de a e de m.
- CNo caso em que m = 2, o sistema tem solução se, e somente se, a = 1.
- DO sistema só tem solução se a = m = 1.
- EO sistema não tem solução, quaisquer que sejam os valores de a e de m.
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Resolução comentada
Vamos resolver o sistema em função de a e m.
Da segunda equação, y = 1 - z. Da terceira, x = m - z. Substituindo na primeira:
a(m - z) - (1 - z) = 1
am - az - 1 + z = 1 \;\Rightarrow\; (1 - a)z = 2 - am
O sistema tem solução se essa equação em z tiver solução:
- Se a \neq 1: z = \dfrac{2 - am}{1 - a}, e o sistema tem solução para qualquer m.
- Se a = 1: a equação vira 0\cdot z = 2 - m. Tem solução apenas se m = 2 (e então há infinitas soluções).
Testando as alternativas:
- (A): com a = 1, o sistema tem solução se, e somente se, m = 2. Confere com o caso 2.
- (B): falsa, pois a = 1 e m \neq 2 não tem solução.
- (C): com m = 2, a equação fica (1 - a)z = 2 - 2a = 2(1 - a). Se a \neq 1, z = 2 serve; logo há solução também com a \neq 1. Falsa.
- (D) e (E): falsas, pois há solução, por exemplo, com a = 0 e qualquer m.
Alternativa A.
Pegadinha: A alternativa C inverte a condição da A: com m=2 fixo, basta a\neq 1 (ou a=1) para haver solução, então o 'somente se' é falso.
Por que as outras alternativas estão erradas
- BIgnora que, com a=1 e m\neq 2, a equação fica 0\cdot z = 2-m \neq 0, sem solução.
- CCom m=2 e a\neq 1 o sistema também tem solução (z=2), então a=1 não é necessário.
- DExige a=m=1, mas com a\neq 1 há solução para qualquer m.
- EHá solução, por exemplo, sempre que a\neq 1.
Assuntos: sistemas lineares, discussão de sistemas.
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