Questão 49 da FUVEST 2015

Question

O sólido da figura é formado pela pirâmide SABCD sobre o paralelepípedo reto ABCDEFGH. Sabe-se que S pertence à reta determinada por A e E e que AE = 2\text{ cm}, AD = 4\text{ cm} e AB = 5\text{ cm}. A medida do segmento \overline{SA} que faz com que o volume do sólido seja igual a \frac{4}{3} do volume da pirâmide SEFGH é

Desenho em perspectiva de um sólido geométrico composto pelo paralelepípedo reto ABCDEFGH e pela pirâmide SABCD sobreposta a ele, com o vértice S situado no prolongamento vertical da aresta EA.

A
2\text{ cm}
B
4\text{ cm}
C
6\text{ cm}
D
8\text{ cm}
E
10\text{ cm}

Answer 1

Questão 49 da FUVEST 2015

1ª fase

O sólido da figura é formado pela pirâmide SABCD sobre o paralelepípedo reto ABCDEFGH. Sabe-se que S pertence à reta determinada por A e E e que AE = 2\text{ cm}, AD = 4\text{ cm} e AB = 5\text{ cm}. A medida do segmento \overline{SA} que faz com que o volume do sólido seja igual a \frac{4}{3} do volume da pirâmide SEFGH é

Desenho em perspectiva de um sólido geométrico composto pelo paralelepípedo reto ABCDEFGH e pela pirâmide SABCD sobreposta a ele, com o vértice S situado no prolongamento vertical da aresta EA.

A
2\text{ cm}
B
4\text{ cm}
C
6\text{ cm}
D
8\text{ cm}
E
10\text{ cm}

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Resolução comentada

Chame SA = x. A base do paralelepípedo é o retângulo ABCD (e também EFGH), de área 4\cdot 5 = 20\ \text{cm}^2, e a altura do paralelepípedo é AE = 2\ \text{cm}.

Volume de uma pirâmide: V=\frac{1}{3}\cdot(\text{área da base})\cdot(\text{altura}).

Paralelepípedo: V_P = 20\cdot 2 = 40\ \text{cm}^3.
Pirâmide SABCD: base ABCD e altura SA = x (S está na reta de AE, perpendicular à base). Então V_1=\frac{20x}{3}.
Pirâmide SEFGH: base EFGH e altura SE = x+2. Então V_2=\frac{20(x+2)}{3}.

O volume do sólido é V_P+V_1 = 40+\frac{20x}{3}. A condição é que ele seja \frac{4}{3} de V_2:

40+\frac{20x}{3}=\frac{4}{3}\cdot\frac{20(x+2)}{3}

Multiplicando tudo por 9:

360+60x=80x+160

200=20x \Rightarrow x=10

Conferindo: V_{sólido}=40+\frac{200}{3}=\frac{320}{3} e V_2=\frac{20\cdot12}{3}=80; \frac{4}{3}\cdot 80=\frac{320}{3}. ✓

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AUsa SA = AE = 2 cm sem montar a equação dos volumes.
BValor sem relação com a equação; resulta de erro ao igualar os volumes.
CErro de conta ao resolver 360+60x=80x+160.
DEsquece que a altura da pirâmide SEFGH é x+2, usando x e errando a igualdade.

Assuntos: volume de pirâmide, volume de prisma, geometria espacial.

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