Questão 48 da FUVEST 2015

1ª fase

No triângulo retângulo ABC, ilustrado na figura, a hipotenusa \overline{AC} mede 12\text{ cm} e o cateto \overline{BC} mede 6\text{ cm}. Se M é o ponto médio de \overline{BC}, então a tangente do ângulo \widehat{MAC} é igual a

Triângulo retângulo ABC com cateto vertical AB e cateto horizontal BC. O ponto M divide a base BC, e uma linha une o vértice superior A ao ponto M, com uma marcação angular no ângulo MAC.

  1. A
    \frac{\sqrt{2}}{7}
  2. B
    \frac{\sqrt{3}}{7}
  3. C
    \frac{2}{7}
  4. D
    \frac{2\sqrt{2}}{7}
  5. E
    \frac{2\sqrt{3}}{7}
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Resolução comentada

O triângulo é retângulo em B, com hipotenusa AC = 12 e cateto BC = 6. Pelo teorema de Pitágoras:

AB^2 = 12^2 - 6^2 = 108 \Rightarrow AB = 6\sqrt{3}\ \text{cm}

Como M é ponto médio de BC, temos BM = MC = 3.

O ângulo \widehat{MAC} é a diferença entre \widehat{BAC} e \widehat{BAM}. Usamos a tangente da diferença, \tg(\alpha-\beta)=\dfrac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\cdot\tg\beta}, com \alpha=\widehat{BAC} e \beta=\widehat{BAM}.

  1. No triângulo ABC: \tg\alpha = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{6}{6\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}.
  2. No triângulo ABM: \tg\beta = \dfrac{BM}{AB} = \dfrac{3}{6\sqrt{3}} = \dfrac{1}{2\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{6}.
  3. Numerador: \dfrac{\sqrt{3}}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{6}.
  4. Denominador: 1+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{3}} = 1+\dfrac{1}{6} = \dfrac{7}{6}.
\tg(\widehat{MAC}) = \dfrac{\sqrt{3}/6}{7/6} = \dfrac{\sqrt{3}}{7}

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AResultado sem relação com os valores \tg\alpha=\sqrt3/3 e \tg\beta=\sqrt3/6; o \sqrt{3} do cateto é trocado por \sqrt{2}.
  • CIgnora o \sqrt{3} do cateto AB=6\sqrt3, resultando em um valor racional.
  • DUsa \sqrt{2} e fator 2 que não aparecem nos cálculos; erro na obtenção de AB ou na tangente da diferença.
  • EColoca um fator 2 indevido no numerador, como se o numerador fosse \sqrt3/3 em vez de \sqrt3/6.

Assuntos: tangente da diferença de arcos, triângulo retângulo, teorema de Pitágoras.

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