Questão 41 da FUVEST 2014

1ª fase

O triângulo AOB é isósceles, com OA = OB, e ABCD é um quadrado. Sendo \theta a medida do ângulo A\hat{O}B, pode-se garantir que a área do quadrado é maior do que a área do triângulo se

Dados os valores aproximados:
\tg 14^\circ \cong 0{,}2493 , \tg 15^\circ \cong 0{,}2679
\tg 20^\circ \cong 0{,}3640 , \tg 28^\circ \cong 0{,}5317

  1. A
    14^\circ < \theta < 28^\circ
  2. B
    15^\circ < \theta < 60^\circ
  3. C
    20^\circ < \theta < 90^\circ
  4. D
    28^\circ < \theta < 120^\circ
  5. E
    30^\circ < \theta < 150^\circ
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Resolução comentada

Sem a figura, uso a configuração clássica desta questão: O é o vértice do triângulo isósceles, AB é o lado comum e o quadrado ABCD é construído sobre AB. Seja AB = \ell.\n\n1. Área do quadrado: \ell^2.\n\n2. Área do triângulo: a altura de O até AB divide o triângulo em dois triângulos retângulos, com ângulo \theta/2 em O e cateto \ell/2 oposto a ele. Então a altura é h = \dfrac{\ell/2}{\tg(\theta/2)}, e a área é\n\n

\dfrac{\ell \cdot h}{2} = \dfrac{\ell^2}{4\,\tg(\theta/2)}
\n\n3. Condição: quadrado maior que o triângulo:\n\n
\ell^2 > \dfrac{\ell^2}{4\,\tg(\theta/2)} \iff \tg(\theta/2) > \dfrac{1}{4} = 0{,}25
\n\n4. Como \tg 14^\circ \cong 0{,}2493 < 0{,}25 < \tg 15^\circ \cong 0{,}2679, a condição vale para \theta/2 \geq 15^\circ, ou seja, \theta \geq 30^\circ (com \theta/2 < 90^\circ, pois \theta < 180^\circ).\n\n5. Falta ver qual intervalo das alternativas está todo dentro de \theta > 28{,}1^\circ aproximadamente. Como \tg(\theta/2)>0{,}25 exige \theta/2 > 14{,}04^\circ, isto é, \theta > 28{,}08^\circ, o intervalo precisa começar em pelo menos 28{,}08^\circ e terminar abaixo de 180^\circ.\n\nA alternativa D começa em 28^\circ, que é menor que 28{,}08^\circ, então falha por pouco. A alternativa E começa em 30^\circ (logo \theta/2 > 15^\circ, \tg > 0{,}2679 > 0{,}25) e termina em 150^\circ, menor que 180^\circ: todos os valores garantem a condição.\n\nAlternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana: usa \tg 14^\circ e 28^\circ parecem servir, mas 0,2493 é menor que 0,25; é preciso lembrar de dobrar o ângulo.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Acomeça em 14°, que dá \tg 7^\circ para a metade, muito abaixo de 0,25.
  • Bcomeça em 15°, ou seja, \theta/2 = 7{,}5^\circ, com tangente menor que 0,25.
  • Ccomeça em 20°, \theta/2 = 10^\circ, ainda com tangente menor que 0,25.
  • Dcomeça em 28°, e \theta/2 = 14^\circ tem \tg \cong 0{,}2493 < 0{,}25, então falha por pouco.

Assuntos: trigonometria no triângulo, área de triângulo e quadrado.

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