Questão 40 da FUVEST 2014

Question

Sobre a equação (x + 3)2^{x^2-9}\text{log}|x^2 + x - 1| = 0, é correto afirmar que

A
ela não possui raízes reais.
B
sua única raiz real é -3.
C
duas de suas raízes reais são 3 e -3.
D
suas únicas raízes reais são -3, 0 e 1.
E
ela possui cinco raízes reais distintas.

Answer 1

Questão 40 da FUVEST 2014

1ª fase

Sobre a equação (x + 3)2^{x^2-9}\text{log}|x^2 + x - 1| = 0, é correto afirmar que

A
ela não possui raízes reais.
B
sua única raiz real é -3.
C
duas de suas raízes reais são 3 e -3.
D
suas únicas raízes reais são -3, 0 e 1.
E
ela possui cinco raízes reais distintas.

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Resolução comentada

Um produto é zero quando algum fator é zero, e 2^{x^2-9} nunca se anula (exponencial é sempre positiva). Restam dois fatores, mas é preciso cuidar do domínio: o logaritmo exige |x^2+x-1|>0, isto é, x^2+x-1\neq 0.

Fator x+3=0: x=-3. Conferindo o domínio: x^2+x-1=9-3-1=5\neq 0, então -3 é raiz.
Fator \log|x^2+x-1|=0: isso significa |x^2+x-1|=1, ou seja, x^2+x-1=1 ou x^2+x-1=-1.

x^2+x-2=0 dá x=1 ou x=-2.
x^2+x=0 dá x=0 ou x=-1.

Em todos esses valores x^2+x-1 vale \pm1, diferente de zero, então estão no domínio.

As raízes reais são, portanto, -3,\,-2,\,-1,\,0,\,1: cinco raízes distintas.

Note que x=3 não é raiz: x+3=6, 2^0=1 e \log|9+3-1|=\log 11\neq0.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana quem resolve só x^2+x-1=1 e esquece o módulo, que também admite x^2+x-1=-1.

Por que as outras alternativas estão erradas

AExistem raízes reais, como -3, que zera o fator x+3 e está no domínio.
BIgnora as raízes vindas de \log|x^2+x-1|=0.
C3 não é raiz: dá 6\cdot1\cdot\log 11\neq0.
DEsquece de considerar |x^2+x-1|=1 com o valor -1 e perde as raízes -2 e -1.

Assuntos: equação com logaritmo, módulo, equação exponencial.

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