Questão 39 da FUVEST 2014

1ª fase

Uma das piscinas do Centro de Práticas Esportivas da USP tem o formato de três hexágonos regulares congruentes, justapostos, de modo que cada par de hexágonos tem um lado em comum, conforme representado na figura abaixo. A distância entre lados paralelos de cada hexágono é de 25 metros.

Três hexágonos regulares congruentes justapostos que se tocam pelas arestas com linhas tracejadas, formando uma figura com simetria central de três partes.

Assinale a alternativa que mais se aproxima da área da piscina.

  1. A
    1.600\ m^2
  2. B
    1.800\ m^2
  3. C
    2.000\ m^2
  4. D
    2.200\ m^2
  5. E
    2.400\ m^2
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Resolução comentada

A distância entre lados paralelos de um hexágono regular é o dobro do apótema. Se o lado vale \ell, o apótema é \frac{\ell\sqrt{3}}{2}, então a distância é \ell\sqrt{3}.

  1. Distância entre lados paralelos: \ell\sqrt{3}=25, logo \ell=\frac{25}{\sqrt{3}}.

  2. Área de um hexágono regular (6 triângulos equiláteros): A=\frac{3\sqrt{3}}{2}\ell^2.

  3. Calculando \ell^2=\frac{625}{3}:

    A=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{625}{3}=\frac{625\sqrt{3}}{2}

  4. Com \sqrt{3}\approx1{,}73:

    A\approx\frac{625\cdot1{,}73}{2}\approx 540{,}6\ \text{m}^2

  5. A piscina tem três hexágonos congruentes justapostos. Eles compartilham apenas lados (as linhas tracejadas), então não há sobreposição de área:

    A_{\text{total}}=3\cdot540{,}6\approx1621\ \text{m}^2

O valor mais próximo é 1.600\ \text{m}^2.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BResultado que não decorre de nenhum cálculo correto; aproxima a área de modo incorreto.
  • CProvavelmente usa o lado igual a 25 m ou erra o valor do apótema, superestimando a área.
  • DSuperestima a área, por exemplo tomando 25 m como o dobro do lado em vez do dobro do apótema.
  • EIgnora a relação correta entre lado e distância entre lados paralelos, resultando em área muito grande.

Assuntos: área de hexágono regular, polígonos regulares.

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