Questão 38 da FUVEST 2014

1ª fase

O número real x, que satisfaz 3 < x < 4, tem uma expansão decimal na qual os 999.999 primeiros dígitos à direita da vírgula são iguais a 3. Os 1.000.001 dígitos seguintes são iguais a 2 e os restantes são iguais a zero. Considere as seguintes afirmações:

I. x é irracional.

II. x \geq \dfrac{10}{3}

III. x \cdot 10^{2.000.000} é um inteiro par.

Então,

  1. A
    nenhuma das três afirmações é verdadeira.
  2. B
    apenas as afirmações I e II são verdadeiras.
  3. C
    apenas a afirmação I é verdadeira.
  4. D
    apenas a afirmação II é verdadeira.
  5. E
    apenas a afirmação III é verdadeira.
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Resolução comentada

Antes de tudo, veja a estrutura de x: parte inteira 3, depois 999.999 dígitos 3, depois 1.000.001 dígitos 2 e, a partir daí, só zeros. Logo, a expansão decimal é finita, com 999.999 + 1.000.001 = 2.000.000 casas decimais.

I. Número com expansão decimal finita é racional (fração com denominador 10^{2.000.000}). Falsa.

II. Compare x com \dfrac{10}{3} = 3{,}333\ldots, que tem infinitos dígitos 3.

  1. As primeiras 999.999 casas de x são 3, iguais às de 10/3.
  2. A casa seguinte (a de número 1.000.000) de x é 2, enquanto em 10/3 é 3.
  3. Como 2 < 3 nessa primeira casa diferente, x < \dfrac{10}{3}.

Portanto x \geq 10/3 é falsa.

III. Multiplicar por 10^{2.000.000} desloca a vírgula 2.000.000 casas para a direita, e x tem exatamente essas casas. O resultado é um inteiro, terminado pelo último dígito não nulo de x, que é 2 (o último dígito da sequência de 2's). Como termina em 2, o inteiro é par. Verdadeira.

Só a III é verdadeira.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana quem acha que x, começando com muitos 3, é próximo de 10/3 e portanto maior ou igual, sem comparar a primeira casa diferente (2 contra 3).

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AIgnora que a III é verdadeira: o produto é inteiro e termina em 2, logo é par.
  • BConsidera x irracional e x ≥ 10/3, mas x tem expansão finita (racional) e é menor que 10/3.
  • CToma x como irracional, embora sua expansão decimal seja finita.
  • DNão nota que na casa 1.000.000 x tem 2 contra 3 de 10/3, então x < 10/3.

Assuntos: expansão decimal, números racionais e irracionais, comparação de números reais.

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