Questão 37 da FUVEST 2014

1ª fase

Uma circunferência de raio 3\text{ cm} está inscrita no triângulo isósceles ABC, no qual AB = AC. A altura relativa ao lado \overline{BC} mede 8\text{ cm}. O comprimento de \overline{BC} é, portanto, igual a

  1. A
    24\text{ cm}
  2. B
    13\text{ cm}
  3. C
    12\text{ cm}
  4. D
    9\text{ cm}
  5. E
    7\text{ cm}
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Resolução comentada

Use a relação entre área, semiperímetro e raio da circunferência inscrita: S = r\cdot p, onde p é o semiperímetro.\n\nSeja BC = 2x. A altura AM = 8 cai no ponto médio M de BC, então BM = x.\n\n1. Lado igual: no triângulo retângulo ABM, AB = AC = \sqrt{x^2 + 64}.\n2. Área: S = \dfrac{2x\cdot 8}{2} = 8x.\n3. Semiperímetro: p = \dfrac{2\sqrt{x^2+64} + 2x}{2} = \sqrt{x^2+64} + x.\n4. Com r = 3: 8x = 3\left(\sqrt{x^2+64} + x\right), ou seja, 5x = 3\sqrt{x^2+64}.\n5. Elevando ao quadrado: 25x^2 = 9x^2 + 576, logo 16x^2 = 576, x^2 = 36 e x = 6.\n\nPortanto BC = 2x = 12\text{ cm}.\n\nConferência: AB = \sqrt{36+64} = 10; S = 48; p = 16; r = 48/16 = 3. ✔\n\nAlternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com as condições; ignora que o incentro está a 3 cm da base e o raio é 3.
  • BNão satisfaz S = r\cdot p; com BC=13 o raio inscrito não seria 3 cm.
  • DConfunde com o semilado ou outro valor; com BC=9 o raio não dá 3 cm.
  • ECom BC=7 o raio inscrito não é 3 cm; não verifica a fórmula da área.

Assuntos: circunferência inscrita, triângulo isósceles, área do triângulo.

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