Questão 36 da FUVEST 2014

1ª fase

Um apostador ganhou um prêmio de R$ 1.000.000,00 na loteria e decidiu investir parte do valor em caderneta de poupança, que rende 6\% ao ano, e o restante em um fundo de investimentos, que rende 7{,}5\% ao ano. Apesar do rendimento mais baixo, a caderneta de poupança oferece algumas vantagens e ele precisa decidir como irá dividir o seu dinheiro entre as duas aplicações. Para garantir, após um ano, um rendimento total de pelo menos R$ 72.000,00, a parte da quantia a ser aplicada na poupança deve ser de, no máximo,

  1. A
    R$ 200.000,00
  2. B
    R$ 175.000,00
  3. C
    R$ 150.000,00
  4. D
    R$ 125.000,00
  5. E
    R$ 100.000,00
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Resolução comentada

Chame de x a quantia aplicada na poupança. O restante, 1.000.000 - x, vai para o fundo de investimentos.

O rendimento em um ano é a soma dos rendimentos das duas aplicações:

  1. Poupança: 0{,}06x
  2. Fundo: 0{,}075\,(1.000.000 - x)

O rendimento total deve ser de pelo menos R$ 72.000,00:

0{,}06x + 0{,}075\,(1.000.000 - x) \geq 72.000

Distribuindo:

0{,}06x + 75.000 - 0{,}075x \geq 72.000
-0{,}015x \geq -3.000

Ao dividir por -0{,}015, que é negativo, o sinal da desigualdade se inverte:

x \leq \frac{3.000}{0{,}015} = 200.000

Faz sentido: como o fundo rende mais, quanto menos dinheiro na poupança, maior o rendimento total. Por isso existe um valor máximo para a poupança.

Conferindo com x = 200.000: poupança = 12.000 e fundo = 0{,}075 \cdot 800.000 = 60.000, somando R$ 72.000,00.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BCom R$ 175.000,00 na poupança o rendimento seria R$ 73.125,00, acima do mínimo, mas esse não é o valor máximo possível.
  • CCom R$ 150.000,00 o rendimento seria R$ 73.500,00, ainda folgado; não é o limite.
  • DCom R$ 125.000,00 o rendimento seria R$ 73.875,00, também acima do limite exigido.
  • ECom R$ 100.000,00 o rendimento seria R$ 74.250,00; o valor está longe do máximo.

Assuntos: inequação do 1º grau, porcentagem.

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