Questão 16 da FUVEST 2014

Question

Uma estação espacial foi projetada com formato cilíndrico, de raio R igual a 100\text{ m}, como ilustra a figura ao lado. Para simular o efeito gravitacional e permitir que as pessoas caminhem na parte interna da casca cilíndrica, a estação gira em torno de seu eixo, com velocidade angular constante \omega. As pessoas terão sensação de peso, como se estivessem na Terra, se a velocidade \omega for de, aproximadamente,

Esquema de uma estação espacial cilíndrica com um eixo de rotação vertical central, velocidade angular rotacional , raio indicado do centro à borda, e duas pessoas apoiadas com a cabeça apontando para o centro na parte interna da casca.

Note e adote:
A aceleração gravitacional na superfície da Terra é g = 10\text{ m/s}^2.

A
0{,}1\text{ rad/s}
B
0{,}3\text{ rad/s}
C
1\text{ rad/s}
D
3\text{ rad/s}
E
10\text{ rad/s}

Answer 1

Questão 16 da FUVEST 2014

1ª fase

Uma estação espacial foi projetada com formato cilíndrico, de raio R igual a 100\text{ m}, como ilustra a figura ao lado. Para simular o efeito gravitacional e permitir que as pessoas caminhem na parte interna da casca cilíndrica, a estação gira em torno de seu eixo, com velocidade angular constante \omega. As pessoas terão sensação de peso, como se estivessem na Terra, se a velocidade \omega for de, aproximadamente,

Esquema de uma estação espacial cilíndrica com um eixo de rotação vertical central, velocidade angular rotacional , raio indicado do centro à borda, e duas pessoas apoiadas com a cabeça apontando para o centro na parte interna da casca.

Note e adote:
A aceleração gravitacional na superfície da Terra é g = 10\text{ m/s}^2.

A
0{,}1\text{ rad/s}
B
0{,}3\text{ rad/s}
C
1\text{ rad/s}
D
3\text{ rad/s}
E
10\text{ rad/s}

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Resolução comentada

Quem está na parte interna da casca gira junto com a estação em uma circunferência de raio R. Para isso é preciso uma força resultante apontando para o centro (força centrípeta), e ela vem da normal que o piso exerce sobre a pessoa.

A sensação de peso é justamente a força normal que sentimos no piso. Na Terra, N = mg. Na estação, N = m a_c, em que a_c é a aceleração centrípeta. Então a sensação será a mesma se a_c = g.

A aceleração centrípeta em movimento circular uniforme é:

a_c = \omega^2 R

Passos:

Igualar à gravidade: \omega^2 R = g
Isolar \omega: \omega = \sqrt{\dfrac{g}{R}}
Substituir: \omega = \sqrt{\dfrac{10}{100}} = \sqrt{0{,}1}
Calcular: \omega \approx 0{,}32\ \text{rad/s}

Isso dá aproximadamente 0{,}3\ \text{rad/s}, o que corresponde a uma volta completa a cada 2\pi/0{,}3 \approx 20\ \text{s}.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AResultado pequeno demais; vem de erro de conta, como usar \omega = g/R^2 ou \sqrt{0{,}01}.
CUsa \omega = g/R\cdot 10 ou esquece a raiz, tratando \omega^2 = 1 em vez de 0{,}1.
DExtrai a raiz de 10 (\sqrt{g}), ignorando a divisão por R.
EToma \omega = g diretamente, sem relacionar com R.

Assuntos: movimento circular uniforme, aceleração centrípeta.

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