Questão 33 da FUVEST 2013

1ª fase

Um caminhão sobe uma ladeira com inclinação de 15^\circ. A diferença entre a altura final e a altura inicial de um ponto determinado do caminhão, depois de percorridos 100\text{ m} da ladeira, será de, aproximadamente,

Dados:
\sqrt{3} \cong 1{,}73

\sen^2 \left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos\theta}{2}
  1. A
    7\text{ m}
  2. B
    26\text{ m}
  3. C
    40\text{ m}
  4. D
    52\text{ m}
  5. E
    67\text{ m}
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Resolução comentada

A altura ganha é o cateto oposto ao ângulo de 15^\circ num triângulo retângulo cuja hipotenusa é a distância percorrida na ladeira, 100\ \text{m}:

h = 100\cdot\sen 15^\circ

Como não sabemos de cabeça o seno de 15^\circ, usamos a fórmula dada com \theta = 30^\circ, pois \theta/2 = 15^\circ.

  1. \sen^2 15^\circ = \dfrac{1-\cos 30^\circ}{2}
  2. Com \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cong \dfrac{1{,}73}{2} = 0{,}865, temos \sen^2 15^\circ = \dfrac{1-0{,}865}{2} = \dfrac{0{,}135}{2} = 0{,}0675
  3. \sen 15^\circ = \sqrt{0{,}0675} \cong 0{,}26, pois 0{,}26^2 = 0{,}0676
  4. h = 100\cdot 0{,}26 = 26\ \text{m}

Conferindo: \sen 15^\circ é um valor próximo de \sen 14{,}5^\circ \approx 0{,}25, coerente com 0{,}26.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AEsquece a raiz quadrada ao parar em \sen^2 15^\circ \cong 0{,}07 e multiplica por 100.
  • CValor sem base na conta; não corresponde a 100\cdot\sen 15^\circ.
  • DDobra o resultado, como se usasse 2\sen 15^\circ ou \sen 30^\circ incorretamente.
  • EUsa \cos 15^\circ\cdot 100\cong 97 de forma errada ou confunde valores; não é a altura.

Assuntos: trigonometria no triângulo retângulo, arco metade.

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