Questão 28 da FUVEST 2013

1ª fase

Sejam \alpha e \beta números reais com -\pi/2 < \alpha < \pi/2 e 0 < \beta < \pi. Se o sistema de equações, dado em notação matricial,

\begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 6 & 8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \tg \alpha \\ \cos \beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ -2\sqrt{3} \end{bmatrix},

for satisfeito, então \alpha + \beta é igual a

  1. A
    -\dfrac{\pi}{3}
  2. B
    -\dfrac{\pi}{6}
  3. C
    0
  4. D
    \dfrac{\pi}{6}
  5. E
    \dfrac{\pi}{3}
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Resolução comentada

Chame x=\tg\alpha e y=\cos\beta. O sistema fica:

  1. 3x+6y=0
  2. 6x+8y=-2\sqrt{3}

Da primeira equação, x=-2y.

Substituindo na segunda: 6(-2y)+8y=-2\sqrt{3}, ou seja, -4y=-2\sqrt{3}, logo y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Então x=-2y=-\sqrt{3}.

Agora voltamos aos ângulos, respeitando os intervalos do enunciado:

  • \cos\beta=\dfrac{\sqrt{3}}{2} com 0<\beta<\pi dá \beta=\dfrac{\pi}{6} (nesse intervalo o cosseno é injetivo, então há só uma solução).
  • \tg\alpha=-\sqrt{3} com -\dfrac{\pi}{2}<\alpha<\dfrac{\pi}{2} dá \alpha=-\dfrac{\pi}{3}.

Somando:

\alpha+\beta=-\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{\pi}{6}

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa só o valor de \alpha=-\pi/3 e esquece de somar \beta.
  • CSupõe que \alpha e \beta se cancelam, o que não ocorre com -\pi/3 e \pi/6.
  • DUsa só \beta=\pi/6, ignorando \alpha, ou erra o sinal de \alpha.
  • EToma \alpha=\pi/3 (sinal errado da tangente) e \beta=0, ou confunde os valores.

Assuntos: sistemas lineares, equações trigonométricas.

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