Questão 27 da FUVEST 2013

Question

As propriedades aritméticas e as relativas à noção de ordem desempenham um importante papel no estudo dos números reais. Nesse contexto, qual das afirmações abaixo é correta?

A
Quaisquer que sejam os números reais positivos a e b, é verdadeiro que \sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}.
B
Quaisquer que sejam os números reais a e b tais que a^2 - b^2 = 0, é verdadeiro que a = b.
C
Qualquer que seja o número real a, é verdadeiro que \sqrt{a^2} = a.
D
Quaisquer que sejam os números reais a e b não nulos tais que a < b, é verdadeiro que 1/b < 1/a.
E
Qualquer que seja o número real a, com 0 < a < 1, é verdadeiro que a^2 < \sqrt{a}.

Answer 1

Questão 27 da FUVEST 2013

1ª fase

As propriedades aritméticas e as relativas à noção de ordem desempenham um importante papel no estudo dos números reais. Nesse contexto, qual das afirmações abaixo é correta?

A
Quaisquer que sejam os números reais positivos a e b, é verdadeiro que \sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}.
B
Quaisquer que sejam os números reais a e b tais que a^2 - b^2 = 0, é verdadeiro que a = b.
C
Qualquer que seja o número real a, é verdadeiro que \sqrt{a^2} = a.
D
Quaisquer que sejam os números reais a e b não nulos tais que a < b, é verdadeiro que 1/b < 1/a.
E
Qualquer que seja o número real a, com 0 < a < 1, é verdadeiro que a^2 < \sqrt{a}.

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Resolução comentada

Cada afirmação precisa valer para todos os reais do conjunto indicado; basta um contraexemplo para derrubá-la.

(A) Com a = b = 1: \sqrt{1+1} = \sqrt{2} \approx 1{,}41, mas \sqrt{1}+\sqrt{1} = 2. Falsa.

(B) a^2 - b^2 = 0 dá (a-b)(a+b)=0, ou seja, a = b ou a = -b. Com a = 2 e b = -2, a diferença dos quadrados é zero e a \neq b. Falsa.

(C) A raiz quadrada é sempre maior ou igual a zero, e \sqrt{a^2} = |a|. Com a = -3: \sqrt{9} = 3 \neq -3. Falsa.

(D) Com a = -1 e b = 1, temos a < b. Mas 1/b = 1 e 1/a = -1, então 1/b < 1/a fica 1 < -1. Falsa, pois a propriedade só vale quando a e b têm o mesmo sinal.

(E) Com 0 < a < 1, vale a^2 < a, porque a^2 = a\cdot a e a<1. Também vale a < \sqrt{a}: como \sqrt{a} está entre 0 e 1, temos a = \sqrt{a}\cdot\sqrt{a} < \sqrt{a}. Logo a^2 < a < \sqrt{a}. Teste com a = 0{,}25: a^2 = 0{,}0625 e \sqrt{a} = 0{,}5. Verdadeira.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana porque a regra de inverter a desigualdade com inversos é verdadeira para positivos, mas falha quando a e b têm sinais opostos.

Por que as outras alternativas estão erradas

AA raiz da soma não é a soma das raízes; com a = b = 1, dá √2 ≠ 2.
BEsquece que a² = b² também permite a = −b; contraexemplo a = 2, b = −2.
C√(a²) = |a|, que só é igual a a para a ≥ 0; com a = −3 dá 3.
DInverter a desigualdade ao tomar inversos só vale para números de mesmo sinal; a = −1, b = 1 é contraexemplo.

Assuntos: números reais, desigualdades, raiz quadrada.

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