Questão 26 da FUVEST 2013

Um tetraedro regular inscrito em um cubo usa quatro vértices do cubo, de modo que cada aresta do tetraedro é uma diagonal de face do cubo. Por exemplo, com o cubo de vértices de coordenadas 0 ou 2, os pontos (0,0,0), (2,2,0), (2,0,2) e (0,2,2) formam o tetraedro, e todas as distâncias entre eles são iguais.

Passos:

1. A aresta do cubo é 2, então a diagonal da face vale 2\sqrt{2}. Esse é o lado \ell de cada face do tetraedro.

2. Cada face do tetraedro é um triângulo equilátero de lado \ell = 2\sqrt{2}.

3. A área do triângulo equilátero é \dfrac{\ell^2\sqrt{3}}{4}.

4. Calculando: \ell^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8.

5. Logo, A = \dfrac{8\sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3}.

Conferindo com a geometria: a área é a de um triângulo equilátero de lado 2\sqrt{2}, cuja altura é \dfrac{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{2}=\sqrt{6}. Então A=\dfrac{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}}{2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}, o mesmo resultado.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BNão corresponde a nenhum cálculo correto; aparece ao tomar valores inteiros sem usar a fórmula do triângulo equilátero de lado 2\sqrt{2}.
• CConfunde a área com algo ligado à diagonal 2\sqrt{2} multiplicada por outro fator, sem usar \ell^2\sqrt{3}/4.
• DSeria a área com lado \sqrt{12}; erra o lado, que não é 2\sqrt{3} (a diagonal da face vale 2\sqrt{2}).
• EDá a área de metade de uma face quadrada maior ou outro valor sem relação; o triângulo equilátero de lado 2\sqrt{2} não tem área racional.

Assuntos: geometria espacial, tetraedro regular, área do triângulo equilátero.

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