Questão 25 da FUVEST 2013

Question

São dados, no plano cartesiano, o ponto P de coordenadas (3, 6) e a circunferência C de equação (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 1. Uma reta t passa por P e é tangente a C em um ponto Q. Então a distância de P a Q é

A
\sqrt{15}
B
\sqrt{17}
C
\sqrt{18}
D
\sqrt{19}
E
\sqrt{20}

Answer 1

Questão 25 da FUVEST 2013

1ª fase

São dados, no plano cartesiano, o ponto P de coordenadas (3, 6) e a circunferência C de equação (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 1. Uma reta t passa por P e é tangente a C em um ponto Q. Então a distância de P a Q é

A
\sqrt{15}
B
\sqrt{17}
C
\sqrt{18}
D
\sqrt{19}
E
\sqrt{20}

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Resolução comentada

A reta tangente é perpendicular ao raio no ponto de tangência. Assim, o triângulo formado pelo centro O da circunferência, por P e por Q é retângulo em Q, e vale o teorema de Pitágoras: PO^2 = PQ^2 + r^2.

Dados da circunferência (x-1)^2+(y-2)^2=1: centro O(1,2) e raio r=1.

Distância de P(3,6) ao centro:

PO^2=(3-1)^2+(6-2)^2=4+16=20
Aplicando Pitágoras no triângulo OQP, com o ângulo reto em Q:

PQ^2=PO^2-r^2=20-1=19
Logo:

PQ=\sqrt{19}

Confirmação: P está fora da circunferência, pois PO=\sqrt{20}>1, então a tangente existe. O comprimento do segmento tangente não depende de qual das duas tangentes se escolhe, pois ambas têm a mesma medida.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa E engana quem para na distância de P ao centro (\sqrt{20}) e esquece de subtrair r^2=1.

Por que as outras alternativas estão erradas

ANão corresponde a nenhuma conta correta; seria obtida ao subtrair um valor errado (como r^2=5) de PO^2.
BNão corresponde ao resultado de PO^2-r^2; é valor sem fundamento no cálculo.
CNão surge de 20-1; resultado sem base no teorema de Pitágoras.
EÉ a distância de P ao centro, \sqrt{20}, esquecendo de descontar o raio ao quadrado.

Assuntos: circunferência, reta tangente, distância entre pontos.

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