Questão 24 da FUVEST 2013

1ª fase

Vinte times de futebol disputam a Série A do Campeonato Brasileiro, sendo seis deles paulistas. Cada time joga duas vezes contra cada um dos seus adversários. A porcentagem de jogos nos quais os dois oponentes são paulistas é

  1. A
    menor que 7\%.
  2. B
    maior que 7\%, mas menor que 10\%.
  3. C
    maior que 10\%, mas menor que 13\%.
  4. D
    maior que 13\%, mas menor que 16\%.
  5. E
    maior que 16\%.
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Resolução comentada

Cada par de times se enfrenta duas vezes, então basta comparar o número de pares, pois o fator 2 aparece no total e nos jogos entre paulistas e se cancela.

  1. Total de pares de times: \binom{20}{2} = \dfrac{20\cdot 19}{2} = 190, o que dá 380 jogos.

  2. Pares formados só por paulistas: \binom{6}{2} = \dfrac{6\cdot 5}{2} = 15, o que dá 30 jogos.

  3. Porcentagem:

\dfrac{30}{380} = \dfrac{15}{190} = \dfrac{3}{38} \approx 0{,}0789

Logo, cerca de 7{,}9\%.

Como 7\% < 7{,}9\% < 10\%, a porcentagem fica entre 7\% e 10\%.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ADá menos de 7%, o que ocorreria se a conta fosse feita com valor menor, como 6/20 · 5/19 ≈ 7,9% mal arredondado para baixo; o valor correto é 7,9%.
  • CExigiria entre 10% e 13%, valor que não sai de nenhuma contagem correta dos jogos.
  • DExigiria entre 13% e 16%; ocorre se confundir combinação com arranjo ou usar proporção errada.
  • EMaior que 16%, muito acima dos 7,9% reais; ignora que são 30 jogos em 380.

Assuntos: combinação, porcentagem, análise combinatória.

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