Questão 23 da FUVEST 2013

1ª fase

Uma das primeiras estimativas do raio da Terra é atribuída a Eratóstenes, estudioso grego que viveu, aproximadamente, entre 275 a.C. e 195 a.C. Sabendo que em Assuã, cidade localizada no sul do Egito, ao meio dia do solstício de verão, um bastão vertical não apresentava sombra, Eratóstenes decidiu investigar o que ocorreria, nas mesmas condições, em Alexandria, cidade no norte do Egito. O estudioso observou que, em Alexandria, ao meio dia do solstício de verão, um bastão vertical apresentava sombra e determinou o ângulo \theta entre as direções do bastão e de incidência dos raios de sol. O valor do raio da Terra, obtido a partir de \theta e da distância entre Alexandria e Assuã foi de, aproximadamente, 7500 km.

Esquema da Terra representada por um círculo, com Assuã e Alexandria assinaladas na borda superior esquerda. Dois raios de sol paralelos incidem sobre essas cidades. Segmentos tracejados ligam as cidades ao centro da Terra, e o segmento de Alexandria se prolonga para fora do círculo. O ângulo θ está indicado entre esse prolongamento e a direção dos raios de sol.

O mês em que foram realizadas as observações e o valor aproximado de \theta são

Note e adote:
Distância estimada por Eratóstenes entre Assuã e Alexandria \approx 900\ \text{km}.
\pi = 3
  1. A
    junho; 7^\circ.
  2. B
    dezembro; 7^\circ.
  3. C
    junho; 23^\circ.
  4. D
    dezembro; 23^\circ.
  5. E
    junho; 0{,}3^\circ.
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Resolução comentada

Mês. Assuã e Alexandria ficam no hemisfério norte. O solstício de verão do hemisfério norte ocorre em junho (por volta de 21 de junho), quando o Sol está a pino sobre o Trópico de Câncer, perto de Assuã. Em dezembro seria inverno no hemisfério norte, e o Sol não ficaria a pino em Assuã.

Ângulo. O ângulo \theta entre o bastão e os raios de sol é igual ao ângulo central entre Assuã e Alexandria, pois os raios são paralelos (ângulos alternos internos). O arco entre as cidades é proporcional a esse ângulo.

  1. Comprimento da circunferência: C = 2\pi R = 2 \cdot 3 \cdot 7500 = 45\,000\ \text{km}.
  2. Arco entre as cidades: 900\ \text{km}.
  3. Regra de três: \dfrac{\theta}{360^\circ} = \dfrac{900}{45\,000} = \dfrac{1}{50}.
  4. Logo \theta = \dfrac{360^\circ}{50} = 7{,}2^\circ \approx 7^\circ.

Portanto, junho e \theta \approx 7^\circ.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa D (e C) engana ao usar 23^\circ, número associado ao solstício, e B engana ao trocar o mês pelo verão do hemisfério sul.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Bacerta o ângulo, mas dezembro é verão no hemisfério sul; no Egito o solstício de verão é em junho.
  • Co mês está certo, mas 23^\circ é a inclinação do eixo da Terra, não o ângulo obtido pela razão 900/45000.
  • Derra o mês e usa 23^\circ, valor da inclinação do eixo terrestre.
  • Eo mês está certo, mas 0{,}3^\circ resulta de erro de conta na proporção entre arco e circunferência.

Assuntos: proporção arco-ângulo, solstícios, geometria da circunferência.

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