Questão 83 da FUVEST 2012

1ª fase

Esquema de um dilatômetro: uma barra horizontal de 30 cm está apoiada sobre dois suportes, com a extremidade direita encostada em um anteparo vertical fixo e a extremidade esquerda conectada à base de um ponteiro vertical. O ponteiro possui articulação no ponto O, com 2 cm de comprimento abaixo de O e 10 cm acima de O até a ponta em forma de seta, que aponta para uma escala em arco circular graduada.

Para ilustrar a dilatação dos corpos, um grupo de estudantes apresenta, em uma feira de ciências, o instrumento esquematizado na figura acima. Nessa montagem, uma barra de alumínio com 30 cm de comprimento está apoiada sobre dois suportes, tendo uma extremidade presa ao ponto inferior do ponteiro indicador e a outra encostada num anteparo fixo. O ponteiro pode girar livremente em torno do ponto O, sendo que o comprimento de sua parte superior é 10 cm e, o da inferior, 2 cm. Se a barra de alumínio, inicialmente à temperatura de 25\ ^\circ\text{C}, for aquecida a 225\ ^\circ\text{C}, o deslocamento da extremidade superior do ponteiro será, aproximadamente, de

  1. A
    1 mm.
  2. B
    3 mm.
  3. C
    6 mm.
  4. D
    12 mm.
  5. E
    30 mm.
NOTE E ADOTE
Coeficiente de dilatação linear do alumínio: 2 \times 10^{-5}\ ^\circ\text{C}^{-1}.
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Resolução comentada

A barra se dilata e, como a extremidade direita está encostada no anteparo fixo, ela só consegue empurrar a extremidade esquerda, que está presa ao ponteiro. O ponteiro gira em torno de O como uma alavanca.

  1. Dilatação da barra: \Delta L = L_0\,\alpha\,\Delta T.
\Delta L = 30\ \text{cm}\cdot 2\times10^{-5}\ ^\circ\text{C}^{-1}\cdot(225-25)\ ^\circ\text{C}
\Delta L = 30\cdot 2\times10^{-5}\cdot 200 = 0{,}12\ \text{cm} = 1{,}2\ \text{mm}
  1. O ponteiro é rígido e gira em torno de O. O deslocamento de cada ponto é proporcional à sua distância até O (para ângulos pequenos). A extremidade inferior está a 2 cm de O e se desloca 1{,}2 mm; a superior está a 10 cm de O e se desloca x:
\frac{x}{10} = \frac{1{,}2}{2}
x = 5\cdot 1{,}2 = 6\ \text{mm}

A ponta do ponteiro se desloca cerca de 6 mm, o dobro de 3 mm... não: é 5 vezes a dilatação da barra, pois 10/2 = 5.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa A engana quem calcula apenas a dilatação da barra (1,2 mm) e esquece que o ponteiro amplia o movimento na razão 10/2 = 5.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aconsidera só a dilatação da barra (1,2 mm), esquecendo a ampliação pela alavanca.
  • Bnão corresponde a nenhuma relação correta entre os braços do ponteiro (erro de proporção).
  • Dusa fator 10 em vez de 5, como se o braço inferior fosse 1 cm ou dobrasse a razão.
  • Emultiplica pelo comprimento da barra ou erra a potência de 10 no cálculo da dilatação.

Assuntos: dilatação linear, alavanca/proporção geométrica.

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