Questão 68 da FUVEST 2012
Uma substância radioativa sofre desintegração ao longo do tempo, de acordo com a relação m(t) = ca^{-kt}, em que a é um número real positivo, t é dado em anos, m(t) é a massa da substância em gramas e c, k são constantes positivas. Sabe-se que m_0 gramas dessa substância foram reduzidos a 20\% em 10 anos. A que porcentagem de m_0 ficará reduzida a massa da substância, em 20 anos?
- A10\%
- B5\%
- C4\%
- D3\%
- E2\%
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Resolução comentada
Em t=0, a massa é m(0)=ca^0=c, então c=m_0 e a lei fica m(t)=m_0\,a^{-kt}.
A informação do enunciado é que, em 10 anos, a massa caiu para 20\% de m_0:
- m(10)=m_0\,a^{-10k}=0{,}2\,m_0
- Dividindo por m_0: a^{-10k}=0{,}2
Queremos m(20). Como -20k=2\cdot(-10k), basta elevar ao quadrado:
- a^{-20k}=\left(a^{-10k}\right)^2=(0{,}2)^2=0{,}04
- m(20)=0{,}04\,m_0
Logo, em 20 anos resta 4\% de m_0.
Ideia central: no decaimento exponencial, a cada intervalo igual de tempo a massa é multiplicada pelo mesmo fator. Aqui o fator a cada 10 anos é 0{,}2, e em dois intervalos de 10 anos ele é aplicado duas vezes.
Alternativa C.
Pegadinha: A alternativa A engana quem raciocina de forma linear (se perdeu 80\% em 10 anos, em 20 anos restaria menos) ou aplica 20\% sobre 20\% de modo confuso; o correto é multiplicar os fatores.
Por que as outras alternativas estão erradas
- ASupõe que a perda seja linear: 20\% de 20\% não é 10\%, e o fator 0{,}2 multiplica a massa, não a metade dela.
- BNão corresponde a nenhum cálculo válido; 5\% seria o resultado de 0{,}2 dividido por 4, sem base no fator de decaimento.
- DValor sem relação com (0{,}2)^2; não sai de nenhuma etapa correta.
- EValor sem relação com (0{,}2)^2; seria 0{,}02, um erro de casa decimal.
Assuntos: função exponencial, decaimento radioativo.
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