Questão 67 da FUVEST 2012

Use o tetraedro regular ABCD de aresta a. Arestas não adjacentes (opostas) não têm vértice em comum, por exemplo AB e CD. Sejam M o ponto médio de AB e N o ponto médio de CD.

1. As faces ABC e ABD são triângulos equiláteros de lado a. Então CM e DM são alturas (medianas) desses triângulos:
   

   CM = DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}

2. O triângulo MCD é isósceles, com base CD = a. Como N é o ponto médio da base, MN é a altura relativa a ela, então MN \perp CD e CN = \frac{a}{2}.

3. Pelo teorema de Pitágoras no triângulo MNC:
   

   MN^2 = CM^2 - CN^2 = \frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{2}

4. Logo:
   

   MN = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}

Conferência: no cubo de aresta \frac{a}{\sqrt{2}}, o tetraedro regular tem arestas nas diagonais das faces, e os pontos médios de arestas opostas ficam nos centros de faces opostas do cubo, a distância de uma aresta do cubo, ou seja, \frac{a\sqrt{2}}{2}. Confere.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C engana porque \frac{a\sqrt{3}}{2} é a altura da face, valor que aparece no meio da conta, mas não é a distância pedida.

Por que as outras alternativas estão erradas

• Aa\sqrt{3} é maior que a altura do tetraedro e da própria aresta; não tem sentido geométrico aqui.
• Ba\sqrt{2} é maior que a aresta a, impossível para a distância entre pontos médios.
• C\frac{a\sqrt{3}}{2} é a altura da face (mediana CM), não a distância MN; esquece de subtrair CN^2 em Pitágoras.
• E\frac{a\sqrt{2}}{4} é metade do valor correto, erro ao simplificar ou dividir a distância por 2.

Assuntos: geometria espacial, tetraedro regular, teorema de Pitágoras.

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