Questão 66 da FUVEST 2012

1ª fase

Considere todos os pares ordenados de números naturais (a, b), em que 11 \le a \le 22 e 43 \le b \le 51. Cada um desses pares ordenados está escrito em um cartão diferente. Sorteando-se um desses cartões ao acaso, qual é a probabilidade de que se obtenha um par ordenado (a, b) de tal forma que a fração a/b seja irredutível e com denominador par?

  1. A
    \dfrac{7}{27}
  2. B
    \dfrac{13}{54}
  3. C
    \dfrac{6}{27}
  4. D
    \dfrac{11}{54}
  5. E
    \dfrac{5}{27}
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Resolução comentada

Uma fração a/b é irredutível quando \text{mdc}(a,b)=1. Aqui o denominador b precisa ser par.

Total de cartões: a assume 12 valores (de 11 a 22) e b assume 9 valores (de 43 a 51). Logo há 12\cdot 9=108 pares.

Casos favoráveis: os valores pares de b são 44, 46, 48, 50. Como b é par, a precisa ser ímpar. Os ímpares possíveis são 11, 13, 15, 17, 19, 21, ou seja, 6 valores. Falta excluir os que têm outro fator em comum com b.

  1. b=44=2^2\cdot 11: sai o 11, sobram 5.
  2. b=46=2\cdot 23: nenhum ímpar é múltiplo de 23, então ficam 6.
  3. b=48=2^4\cdot 3: saem os múltiplos de 3 (15 e 21), sobram 4.
  4. b=50=2\cdot 5^2: sai o 15, sobram 5.

Total de casos favoráveis: 5+6+4+5=20.

Probabilidade:

\frac{20}{108}=\frac{5}{27}

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASuperestima os casos favoráveis (por volta de 28), por exemplo esquecendo de excluir os fatores comuns além do 2.
  • BCorresponde a 26 casos favoráveis, número que não sai da contagem correta.
  • CCorresponde a 24 casos favoráveis, contagem a mais que a correta (20).
  • DCorresponde a 22 casos favoráveis, quase certo, mas deixa de excluir alguns pares com fator comum.

Assuntos: probabilidade, máximo divisor comum, análise combinatória.

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