Questão 65 da FUVEST 2012

1ª fase

No plano cartesiano Oxy, a circunferência \mathcal{C} é tangente ao eixo Ox no ponto de abscissa 5 e contém o ponto (1, 2). Nessas condições, o raio de \mathcal{C} vale

  1. A
    \sqrt{5}
  2. B
    2\sqrt{5}
  3. C
    5
  4. D
    3\sqrt{5}
  5. E
    10
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Se a circunferência é tangente ao eixo Ox no ponto (5, 0), o centro fica na reta perpendicular ao eixo nesse ponto, isto é, em x = 5. A distância do centro ao eixo é o raio, então o centro é (5, r), com r > 0. Como o ponto (1, 2) está acima do eixo, o centro está acima dele.

A equação da circunferência é:

(x-5)^2 + (y-r)^2 = r^2

Como o ponto (1, 2) pertence a ela, substituímos:

  1. (1-5)^2 + (2-r)^2 = r^2
  2. 16 + 4 - 4r + r^2 = r^2
  3. 20 - 4r = 0
  4. r = 5

Conferindo: o centro é (5, 5) e a distância até (1, 2) é \sqrt{16 + 9} = 5, igual ao raio.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa B engana quem calcula a distância entre (1,2) e o ponto de tangência (5,0), que dá 2\sqrt{5}, e a toma como raio.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Avalor sem relação com a condição de tangência; não satisfaz 20-4r=0.
  • B2\sqrt{5} é a distância de (1,2) a (5,0), o que confunde o ponto de tangência com o raio.
  • Dvalor sem relação com a equação obtida; não satisfaz 20-4r=0.
  • Eseria o diâmetro, não o raio.

Assuntos: equação da circunferência, tangência, geometria analítica.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 65 no caderno da FUVEST 2012