Questão 64 da FUVEST 2012

1ª fase

Considere a matriz

A = \begin{bmatrix} a & 2a + 1 \\ a - 1 & a + 1 \end{bmatrix},

em que a é um número real. Sabendo que A admite inversa A^{-1} cuja primeira coluna é

\begin{bmatrix} 2a - 1 \\ -1 \end{bmatrix},

a soma dos elementos da diagonal principal de A^{-1} é igual a

  1. A
    5
  2. B
    6
  3. C
    7
  4. D
    8
  5. E
    9
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Resolução comentada

Se A^{-1} tem primeira coluna \begin{bmatrix} 2a-1 \\ -1 \end{bmatrix}, então A\cdot A^{-1} = I obriga a primeira coluna do produto a ser \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}.

Multiplicando A por essa coluna:

  1. Primeira linha: a(2a-1) + (2a+1)(-1) = 1, isto é, 2a^2 - a - 2a - 1 = 1, logo 2a^2 - 3a - 2 = 0.
  2. Segunda linha: (a-1)(2a-1) + (a+1)(-1) = 0, isto é, 2a^2 - 3a + 1 - a - 1 = 0, logo 2a^2 - 4a = 0, então a = 0 ou a = 2.
  3. Na primeira equação, 2a^2-3a-2=0 dá a = 2 ou a = -\tfrac12. O valor comum às duas é a = 2.

Com a=2: A = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}, com \det A = 6 - 5 = 1.

A inversa de uma matriz 2\times2 é \dfrac{1}{\det A}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}, então

A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}.

Conferência: a primeira coluna é \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix}, e de fato 2a-1 = 3.

A soma da diagonal principal é 3 + 2 = 5.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BErro de conta na inversa; a diagonal correta é 3 e 2, que somam 5.
  • CNão corresponde à diagonal da inversa; resulta de erro no cálculo do determinante ou dos elementos.
  • DValor sem base na inversa obtida com a=2.
  • EValor sem base na inversa obtida com a=2.

Assuntos: matriz inversa, multiplicação de matrizes, determinante.

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