Questão 63 da FUVEST 2012

Question

Na figura, tem-se \overline{AE} paralelo a \overline{CD}, \overline{BC} paralelo a \overline{DE}, AE = 2, \alpha = 45^\circ e \beta = 75^\circ. Nessas condições, a distância do ponto E ao segmento \overline{AB} é igual a

Polígono com vértices A, B, C, D e E. O segmento AB é horizontal, com ângulo alfa no vértice B. O vértice C apresenta ângulo beta entre os segmentos BC e CD. Os segmentos AE e CD são paralelos, assim como os segmentos BC e DE.

A
\sqrt{3}
B
\sqrt{2}
C
\frac{\sqrt{3}}{2}
D
\frac{\sqrt{2}}{2}
E
\frac{\sqrt{2}}{4}

Answer 1

Questão 63 da FUVEST 2012

1ª fase

Na figura, tem-se \overline{AE} paralelo a \overline{CD}, \overline{BC} paralelo a \overline{DE}, AE = 2, \alpha = 45^\circ e \beta = 75^\circ. Nessas condições, a distância do ponto E ao segmento \overline{AB} é igual a

Polígono com vértices A, B, C, D e E. O segmento AB é horizontal, com ângulo alfa no vértice B. O vértice C apresenta ângulo beta entre os segmentos BC e CD. Os segmentos AE e CD são paralelos, assim como os segmentos BC e DE.

A
\sqrt{3}
B
\sqrt{2}
C
\frac{\sqrt{3}}{2}
D
\frac{\sqrt{2}}{2}
E
\frac{\sqrt{2}}{4}

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Resolução comentada

Como AE \parallel CD e BC \parallel DE, o pentágono ABCDE tem a forma de um triângulo ABC' com um "recorte" em zigue-zague. A ideia é prolongar os lados para enxergar esse triângulo.

Prologue CD até encontrar AB em F. Então AE \parallel FD e BC \parallel DE, e o quadrilátero formado por A, F, D, E e o trecho de DE até BC fica com lados paralelos dois a dois.

No triângulo FBC: \alpha = 45^\circ em B e \beta = 75^\circ em C, então o ângulo em F vale 180^\circ - 45^\circ - 75^\circ = 60^\circ.
Como AE \parallel CF, a reta AE forma com AB o mesmo ângulo que CF: 60^\circ em A.
Assim, a distância de E a AB é o cateto oposto a esse ângulo no triângulo retângulo formado pelo pé da perpendicular H sobre AB: EH = AE\,\sen 60^\circ.
Com AE = 2: EH = 2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}.

As retas DE e BC paralelas só servem para garantir a forma da figura; o que importa é o ângulo de AE com AB, obtido pelo triângulo FBC.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

Busaria \sen 45^\circ (ângulo \alpha) em vez do ângulo de 60^\circ em A.
Cesquece o fator 2, usando \sen 60^\circ sem multiplicar por AE=2.
Dusa \sen 45^\circ sem multiplicar por AE.
Evalor sem correspondência com nenhum cálculo correto, resulta de erro de razão trigonométrica.

Assuntos: geometria plana, trigonometria no triângulo, retas paralelas.

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