Questão 62 da FUVEST 2012

1ª fase

Em um plano, é dado um polígono convexo de seis lados, cujas medidas dos ângulos internos, dispostas em ordem crescente, formam uma progressão aritmética. A medida do maior ângulo é igual a 11 vezes a medida do menor. A soma das medidas dos quatro menores ângulos internos desse polígono, em graus, é igual a

  1. A
    315
  2. B
    320
  3. C
    325
  4. D
    330
  5. E
    335
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Resolução comentada

Conceito: a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é (n-2)\cdot 180^\circ. Para n=6: 4\cdot 180^\circ = 720^\circ.

Progressão aritmética: chame o menor ângulo de a_1 e a razão de r. Os seis ângulos são a_1, a_1+r, \dots, a_1+5r.

  1. O maior é 11 vezes o menor: a_1+5r = 11a_1, logo 5r = 10a_1 e r = 2a_1.
  2. A soma dos seis termos da PA é \dfrac{(a_1+a_6)\cdot 6}{2} = 3\cdot(a_1+11a_1) = 36a_1.
  3. Igualando a 720^\circ: 36a_1 = 720, então a_1 = 20^\circ e r = 40^\circ.

Os ângulos são 20^\circ, 60^\circ, 100^\circ, 140^\circ, 180^\circ, 220^\circ.

Atenção: isso daria um ângulo de 180^\circ e outro de 220^\circ, o que contradiz a convexidade. Como o enunciado pede só a soma dos quatro menores, calculamos: 20+60+100+140 = 320^\circ.

Conferindo pela PA: soma dos 4 primeiros = \dfrac{(20+140)\cdot 4}{2} = 320.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AResultado sem relação com a PA de termos 20, 60, 100, 140; erro de soma.
  • CNão corresponde à soma 20+60+100+140 da PA encontrada.
  • DNão corresponde à soma dos quatro menores ângulos da PA.
  • EValor acima da soma correta; não decorre da razão 40°.

Assuntos: progressão aritmética, soma dos ângulos internos de polígonos.

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