Questão 28 da FUVEST 2011

1ª fase

No plano cartesiano, os pontos (0,3) e (-1,0) pertencem à circunferência \mathcal{C}. Uma outra circunferência, de centro em (-1/2,4), é tangente a \mathcal{C} no ponto (0,3). Então, o raio de \mathcal{C} vale

  1. A
    \frac{\sqrt{5}}{8}
  2. B
    \frac{\sqrt{5}}{4}
  3. C
    \frac{\sqrt{5}}{2}
  4. D
    \frac{3\sqrt{5}}{4}
  5. E
    \sqrt{5}
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Resolução comentada

Se duas circunferências são tangentes em um ponto, os dois centros e o ponto de tangência ficam alinhados. Então o centro de \mathcal{C} está na reta que passa por (0,3) e pelo centro da outra circunferência, (-1/2,4).

  1. Coeficiente angular dessa reta: m=\dfrac{4-3}{-1/2-0}=-2. A reta é y=-2x+3.

  2. Seja O=(a,\,-2a+3) o centro de \mathcal{C}. Como (0,3) e (-1,0) estão em \mathcal{C}, eles são equidistantes de O:

a^2+(-2a)^2=(a+1)^2+(-2a+3)^2

  1. Desenvolvendo: 5a^2=a^2+2a+1+4a^2-12a+9, ou seja, 5a^2=5a^2-10a+10. Logo a=1.

  2. O centro é O=(1,1).

  3. O raio é a distância de O a (0,3):

r=\sqrt{(1-0)^2+(1-3)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}

Conferindo com o outro ponto: \sqrt{(1+1)^2+(1-0)^2}=\sqrt{5}. Confere.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Avalor muito pequeno, sem relação com a distância do centro (1,1) ao ponto (0,3).
  • Bdivide o resultado por 4 sem motivo; o raio é a distância completa do centro ao ponto.
  • Ctoma a metade de \sqrt{5}, confundindo raio com algo como metade da corda ou do diâmetro.
  • Dnão resulta de nenhuma conta correta com o centro (1,1).

Assuntos: circunferência, geometria analítica, tangência.

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