Questão 27 da FUVEST 2011

1ª fase

Um dado cúbico, não viciado, com faces numeradas de 1 a 6, é lançado três vezes. Em cada lançamento, anota-se o número obtido na face superior do dado, formando-se uma sequência (a, b, c). Qual é a probabilidade de que b seja sucessor de a ou que c seja sucessor de b?

  1. A
    \frac{4}{27}
  2. B
    \frac{11}{54}
  3. C
    \frac{7}{27}
  4. D
    \frac{10}{27}
  5. E
    \frac{23}{54}
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Resolução comentada

Sejam os eventos A: b=a+1 e B: c=b+1. Como o "ou" pede a união, usamos P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).

  1. Para A: os pares (a,b) possíveis são (1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6), ou seja, 5 dos 36 pares. Logo P(A)=\frac{5}{36}.

  2. Para B, a situação é a mesma com (b,c): P(B)=\frac{5}{36}.

  3. Para A\cap B, precisamos de b=a+1 e c=b+1, isto é, três números consecutivos crescentes: (1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(4,5,6). São 4 sequências entre 6^3=216, então P(A\cap B)=\frac{4}{216}=\frac{1}{54}.

  4. Somando:

P=\frac{5}{36}+\frac{5}{36}-\frac{1}{54}=\frac{5}{18}-\frac{1}{54}=\frac{15}{54}-\frac{1}{54}=\frac{14}{54}=\frac{7}{27}

O termo -P(A\cap B) evita contar duas vezes as sequências que satisfazem as duas condições.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com a união; não corresponde a nenhum cálculo correto das probabilidades.
  • BSubtrai a interseção de forma errada ou erra a conta da soma, resultando em \frac{11}{54}.
  • DValor muito alto, não obtido por P(A)+P(B)-P(A\cap B).
  • ESoma P(A)+P(B) e ignora a interseção, ou erra as frações; o correto é \frac{7}{27}.

Assuntos: probabilidade da união, eventos não exclusivos.

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