Questão 29 da FUVEST 2011

1ª fase

Seja f(x) = a + 2^{bx+c}, em que a, b e c são números reais. A imagem de f é a semirreta ]-1,\infty[ e o gráfico de f intercepta os eixos coordenados nos pontos (1,0) e (0,-3/4). Então, o produto abc vale

  1. A
    4
  2. B
    2
  3. C
    0
  4. D
    -2
  5. E
    -4
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Resolução comentada

A função 2^{bx+c} é sempre positiva e assume todos os valores positivos (se b\neq 0). Logo, a imagem de f é ]a,\infty[. Como a imagem é ]-1,\infty[, temos a=-1, e então f(x)=-1+2^{bx+c}.

Agora usamos os dois pontos do gráfico:

  1. Ponto (0,-3/4): -1+2^{c}=-\frac{3}{4}, então 2^c=\frac14=2^{-2}, o que dá c=-2.

  2. Ponto (1,0): -1+2^{b+c}=0, então 2^{b+c}=1=2^0, e portanto b+c=0. Como c=-2, vem b=2.

Conferindo: f(x)=-1+2^{2x-2}; f(1)=-1+1=0 ✓ e f(0)=-1+\frac14=-\frac34 ✓.

O produto pedido é:

abc=(-1)\cdot 2\cdot(-2)=4

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Berra o valor de c ou de b ao resolver as equações exponenciais, chegando a um produto de módulo 2.
  • Csupõe algum dos parâmetros nulo, mas a=-1, b=2 e c=-2 são todos diferentes de zero.
  • Derra o sinal e o módulo, por exemplo tomando b ou c com valor incorreto.
  • Eacerta o módulo, mas erra o sinal: (-1)\cdot 2\cdot(-2) é positivo.

Assuntos: função exponencial, imagem de função, equação exponencial.

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