Questão 26 da FUVEST 2011

Question

A esfera \mathcal{E}, de centro O e raio r > 0, é tangente ao plano \alpha. O plano \beta é paralelo a \alpha e contém O. Nessas condições, o volume da pirâmide que tem como base um hexágono regular inscrito na intersecção de \mathcal{E} com \beta e, como vértice, um ponto em \alpha, é igual a

A
\frac{\sqrt{3}\ r^3}{4}
B
\frac{5\sqrt{3}\ r^3}{16}
C
\frac{3\sqrt{3}\ r^3}{8}
D
\frac{7\sqrt{3}\ r^3}{16}
E
\frac{\sqrt{3}\ r^3}{2}

Answer 1

Questão 26 da FUVEST 2011

1ª fase

A esfera \mathcal{E}, de centro O e raio r > 0, é tangente ao plano \alpha. O plano \beta é paralelo a \alpha e contém O. Nessas condições, o volume da pirâmide que tem como base um hexágono regular inscrito na intersecção de \mathcal{E} com \beta e, como vértice, um ponto em \alpha, é igual a

A
\frac{\sqrt{3}\ r^3}{4}
B
\frac{5\sqrt{3}\ r^3}{16}
C
\frac{3\sqrt{3}\ r^3}{8}
D
\frac{7\sqrt{3}\ r^3}{16}
E
\frac{\sqrt{3}\ r^3}{2}

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Resolução comentada

A esfera é tangente ao plano \alpha, então a distância de O a \alpha é r. Como \beta é paralelo a \alpha e contém O, a distância entre \beta e \alpha também é r. Essa distância é a altura da pirâmide, pois o vértice está em \alpha e a base está em \beta.

Como \beta passa pelo centro, a intersecção com a esfera é uma circunferência máxima, de raio r. O hexágono regular inscrito nela tem lado r.

Área da base: um hexágono regular de lado r é formado por 6 triângulos equiláteros de lado r.

Área de cada triângulo: \dfrac{r^2\sqrt{3}}{4}.
Área do hexágono: 6\cdot\dfrac{r^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3\sqrt{3}\,r^2}{2}.

Volume da pirâmide, com V=\dfrac{1}{3}\cdot A_{base}\cdot h:

V=\frac{1}{3}\cdot\frac{3\sqrt{3}\,r^2}{2}\cdot r=\frac{\sqrt{3}\,r^3}{2}

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

Ausa a área de apenas um triângulo equilátero, ou erra a área do hexágono, obtendo valor pequeno demais.
Bnão corresponde a nenhuma combinação correta de base e altura; resultado de conta errada.
Cusa área do hexágono correta mas multiplica por \tfrac{1}{3} e altura errada (como \tfrac{3r}{4}), ou esquece algum fator.
Dvalor sem justificativa geométrica, vindo de altura ou área mal calculada.

Assuntos: volume de pirâmide, hexágono regular, esfera e plano.

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