Questão 25 da FUVEST 2011

1ª fase

Sejam x e y números reais positivos tais que x + y = π/2. Sabendo-se que \sen(y - x) = 1/3, o valor de \tg^2 y - \tg^2 x é igual a

  1. A
    \dfrac{3}{2}
  2. B
    \dfrac{5}{4}
  3. C
    \dfrac{1}{2}
  4. D
    \dfrac{1}{4}
  5. E
    \dfrac{1}{8}
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Como x + y = \pi/2, os ângulos são complementares: y = \pi/2 - x. Então \sen y = \cos x e \cos y = \sen x.

O dado é \sen(y-x) = \sen y\cos x - \cos y \sen x = \cos^2 x - \sen^2 x = \cos 2x = \dfrac{1}{3}.

Agora, escrevendo a expressão pedida:

  1. \tg y = \dfrac{\sen y}{\cos y} = \dfrac{\cos x}{\sen x}, logo \tg^2 y = \dfrac{\cos^2 x}{\sen^2 x}.
  2. \tg^2 y - \tg^2 x = \dfrac{\cos^2 x}{\sen^2 x} - \dfrac{\sen^2 x}{\cos^2 x} = \dfrac{\cos^4 x - \sen^4 x}{\sen^2 x\cos^2 x}.
  3. Numerador: \cos^4 x - \sen^4 x = (\cos^2 x - \sen^2 x)(\cos^2 x + \sen^2 x) = \cos 2x = \dfrac{1}{3}.
  4. Denominador: \sen^2 x\cos^2 x = \left(\dfrac{\sen 2x}{2}\right)^2 = \dfrac{\sen^2 2x}{4}.

Como \cos 2x = 1/3, temos \sen^2 2x = 1 - \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9}. Então o denominador é \dfrac{8}{9}\cdot\dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{9}.

  1. Resultado: \dfrac{1/3}{2/9} = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{9}{2} = \dfrac{3}{2}.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BErra na simplificação do denominador, usando \sen^2 2x sem dividir por 4 de forma correta.
  • CNão corresponde ao resultado do quociente \cos 2x / (\sen^2 2x/4); vem de erro de conta no denominador.
  • DValor sem relação com o cálculo correto; resulta de troca entre \sen 2x e \cos 2x.
  • EResulta de tomar só parte da expressão, sem dividir pelo produto \sen^2 x\cos^2 x corretamente.

Assuntos: trigonometria, arcos complementares, identidades trigonométricas.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 25 no caderno da FUVEST 2011