Questão 80 da FUVEST 2010

1ª fase

Uma pirâmide tem como base um quadrado de lado 1, e cada uma de suas faces laterais é um triângulo equilátero. Então, a área do quadrado, que tem como vértices os baricentros de cada uma das faces laterais, é igual a

  1. A
    \dfrac{5}{9}
  2. B
    \dfrac{4}{9}
  3. C
    \dfrac{1}{3}
  4. D
    \dfrac{2}{9}
  5. E
    \dfrac{1}{9}
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Resolução comentada

Sejam a base ABCD (lado 1) e o vértice V. Cada face lateral é um triângulo equilátero de lado 1, e o baricentro de cada uma fica a \frac{2}{3} da mediana a partir do vértice V.

Considere as faces VAB e VBC, com M e N os pontos médios de AB e BC. Os baricentros G_1 e G_2 estão sobre VM e VN, com VG_1 = \frac{2}{3}VM e VG_2 = \frac{2}{3}VN.

  1. Os triângulos VMN e VG_1G_2 são semelhantes (ângulo em V comum e lados proporcionais), com razão \frac{2}{3}.
  2. Logo G_1G_2 = \frac{2}{3}MN.
  3. MN é base média do triângulo ABC, paralela a AC: MN = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt2}{2}.
  4. Então G_1G_2 = \frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt2}{3}.

Por simetria, os quatro baricentros formam um quadrado (ficam no mesmo plano, paralelo à base), cujo lado é \frac{\sqrt2}{3}.

Área:

\left(\frac{\sqrt2}{3}\right)^2=\frac{2}{9}

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com a razão de semelhança; não surge de nenhum cálculo correto.
  • BUsa lado \frac{2}{3} (razão direta sobre o lado da base), esquecendo que o lado é \frac{2}{3} da base média MN.
  • CUsa lado \frac{\sqrt3}{3} (confunde com altura/mediana), não a base média.
  • EUsa lado \frac{1}{3}, tomando um terço do lado da base.

Assuntos: geometria espacial, baricentro, semelhança de triângulos.

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