Questão 78 da FUVEST 2010

1ª fase

No plano cartesiano Oxy, a reta de equação x + y = 2 é tangente à circunferência C no ponto (0,2). Além disso, o ponto (1,0) pertence a C. Então, o raio de C é igual a

  1. A
    \dfrac{3\sqrt{2}}{2}
  2. B
    \dfrac{5\sqrt{2}}{2}
  3. C
    \dfrac{7\sqrt{2}}{2}
  4. D
    \dfrac{9\sqrt{2}}{2}
  5. E
    \dfrac{11\sqrt{2}}{2}
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Resolução comentada

Se a reta é tangente a C em (0,2), o centro fica na reta perpendicular à tangente que passa por esse ponto, pois o raio é perpendicular à tangente no ponto de tangência.

A reta x+y=2 tem coeficiente angular -1, então a perpendicular tem coeficiente 1 e passa por (0,2): y = x + 2. O centro é (a,\,a+2).

Como (0,2) e (1,0) pertencem a C, ambos estão à mesma distância do centro:

  1. Distância até (0,2): a^2 + a^2 = 2a^2.
  2. Distância até (1,0): (a-1)^2 + (a+2)^2 = 2a^2 + 2a + 5.

Igualando:

2a^2 = 2a^2 + 2a + 5 \Rightarrow a = -\tfrac{5}{2}

O centro é \left(-\tfrac52,\,-\tfrac12\right).

O raio é a distância do centro a (0,2):

r^2 = 2a^2 = 2\cdot\frac{25}{4} = \frac{25}{2} \Rightarrow r = \frac{5}{\sqrt2} = \frac{5\sqrt2}{2}

Conferindo com (1,0): \left(\tfrac72\right)^2 + \left(\tfrac12\right)^2 = \tfrac{49+1}{4} = \tfrac{25}{2}. Confere.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor menor que o raio real; não satisfaz r^2 = 25/2 (daria r^2 = 9/2).
  • CDaria r^2 = 49/2, maior que o obtido pela condição de equidistância.
  • DDaria r^2 = 81/2, incompatível com o centro (-5/2,-1/2).
  • EDaria r^2 = 121/2, incompatível com os dois pontos da circunferência.

Assuntos: circunferência, reta tangente, geometria analítica.

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