Questão 77 da FUVEST 2010

Question

A função f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} tem como gráfico uma parábola e satisfaz f(x + 1) - f(x) = 6x - 2, para todo número real x. Então, o menor valor de f(x) ocorre quando x é igual a

A
\frac{11}{6}
B
\frac{7}{6}
C
\frac{5}{6}
D
0
E
-\frac{5}{6}

Answer 1

Questão 77 da FUVEST 2010

1ª fase

A função f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} tem como gráfico uma parábola e satisfaz f(x + 1) - f(x) = 6x - 2, para todo número real x. Então, o menor valor de f(x) ocorre quando x é igual a

A
\frac{11}{6}
B
\frac{7}{6}
C
\frac{5}{6}
D
0
E
-\frac{5}{6}

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Resolução comentada

Como o gráfico é uma parábola, f(x)=ax^2+bx+c com a\neq 0. Vamos calcular a diferença f(x+1)-f(x) e compará-la com 6x-2.

f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)+c=ax^2+2ax+a+bx+b+c.
Subtraindo f(x)=ax^2+bx+c:

f(x+1)-f(x)=2ax+a+b
Igualando a 6x-2, os coeficientes devem ser iguais:

de x: 2a=6, então a=3;
termo independente: a+b=-2, então b=-5.

Como a=3>0, a parábola tem concavidade para cima e o menor valor de f ocorre no vértice:

x_v=-\frac{b}{2a}=-\frac{-5}{6}=\frac{5}{6}

O valor de c não importa, pois apenas desloca o gráfico na vertical.

Verificação: f(x)=3x^2-5x+c dá f(x+1)-f(x)=6x+3-5=6x-2, como pedido.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa E engana quem esquece o sinal negativo na fórmula do vértice e obtém -5/6.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem relação com o vértice; não sai de -b/2a com a=3 e b=-5.
BErro no cálculo dos coeficientes, por exemplo usar b=-7 no lugar de -5.
DSupõe o vértice na origem, o que só ocorreria com b=0.
EErra o sinal: usa x_v=b/2a em vez de -b/2a.

Assuntos: função quadrática, vértice da parábola.

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