Questão 76 da FUVEST 2010

1ª fase

A figura representa um quadrado ABCD de lado 1. O ponto F está em \overline{BC}, \overline{BF} mede \sqrt{5}/4, o ponto E está em \overline{CD} e \overline{AF} é bissetriz do ângulo B\hat{A}E. Nessas condições, o segmento \overline{DE} mede

Quadrado ABCD com os segmentos AF e AE partindo do vértice A até os pontos F no lado BC e E no lado CD, respectivamente.

  1. A
    \frac{3\sqrt{5}}{40}
  2. B
    \frac{7\sqrt{5}}{40}
  3. C
    \frac{9\sqrt{5}}{40}
  4. D
    \frac{11\sqrt{5}}{40}
  5. E
    \frac{13\sqrt{5}}{40}
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Resolução comentada

Coloque A na origem, com B à direita e D abaixo. Seja \alpha = B\hat{A}F. No triângulo ABF, retângulo em B, com AB = 1 e BF = \frac{\sqrt{5}}{4}:

\tg\alpha = \frac{BF}{AB} = \frac{\sqrt{5}}{4}

Como AF é bissetriz de B\hat{A}E, o ângulo B\hat{A}E vale 2\alpha. Então D\hat{A}E = 90^\circ - 2\alpha, e no triângulo ADE, retângulo em D, com AD = 1:

DE = AD\cdot \tg(90^\circ - 2\alpha) = \frac{1}{\tg 2\alpha}

Pela fórmula do arco duplo:

  1. \tg^2\alpha = \frac{5}{16}
  2. 1 - \tg^2\alpha = \frac{11}{16}
  3. \tg 2\alpha = \frac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha} = \frac{2\cdot\frac{\sqrt{5}}{4}}{\frac{11}{16}} = \frac{\sqrt{5}}{2}\cdot\frac{16}{11} = \frac{8\sqrt{5}}{11}

Portanto:

DE = \frac{11}{8\sqrt{5}} = \frac{11\sqrt{5}}{40}

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com 1/\tg 2\alpha; provável erro de conta no arco duplo.
  • BValor sem relação com o resultado; erro na simplificação da fração.
  • CValor sem relação com o resultado; erro ao racionalizar ou no arco duplo.
  • EValor sem relação com o resultado; erro de conta no arco duplo.

Assuntos: trigonometria, tangente do arco duplo, bissetriz.

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