Questão 75 da FUVEST 2010

1ª fase

Na figura, os pontos A, B, C pertencem à circunferência de centro O e BC = a. A reta \overleftrightarrow{OC} é perpendicular ao segmento \overline{AB} e o ângulo A\hat{O}B mede \pi/3 radianos. Então, a área do triângulo ABC vale

Circunferência de centro O com triângulos inscritos AOB e ABC

  1. A
    \frac{a^2}{8}
  2. B
    \frac{a^2}{4}
  3. C
    \frac{a^2}{2}
  4. D
    \frac{3a^2}{4}
  5. E
    a^2
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Resolução comentada

Seja r o raio. Como OA = OB = r e o ângulo A\hat{O}B = \pi/3, o triângulo AOB é isósceles com ângulo de 60^\circ no vértice, portanto equilátero: AB = r.

A reta OC é perpendicular a AB e passa pelo centro, então contém a mediatriz de AB. Seja M o ponto médio de AB. Então OM é a altura do triângulo equilátero:

OM = \frac{r\sqrt{3}}{2}

O ponto C está na circunferência, do lado oposto a A B em relação a O (pela figura), logo OC = r e a altura do triângulo ABC em relação a AB é

CM = r + \frac{r\sqrt{3}}{2} = \frac{r(2+\sqrt{3})}{2}

Para achar r em função de a, use o triângulo BMC, retângulo em M, com BM = r/2:

a^2 = BM^2 + CM^2 = \frac{r^2}{4} + \frac{r^2(7+4\sqrt{3})}{4} = \frac{r^2(8+4\sqrt{3})}{4} = r^2(2+\sqrt{3})

A área do triângulo ABC é:

S = \frac{AB \cdot CM}{2} = \frac{r \cdot r(2+\sqrt{3})/2}{2} = \frac{r^2(2+\sqrt{3})}{4}

Substituindo r^2(2+\sqrt{3}) = a^2:

S = \frac{a^2}{4}

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Adivide por 8, erro ao calcular a área ou ao relacionar r com a.
  • Cignora o fator 1/2 da altura e da base, obtendo o dobro do valor correto.
  • Dvalor grande demais, não sai de nenhuma relação correta entre r e a.
  • Econfunde a área com o quadrado do lado BC.

Assuntos: geometria plana, área de triângulo, circunferência.

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