Questão 74 da FUVEST 2010

Question

Os números a_1, a_2, a_3 formam uma progressão aritmética de razão r, de tal modo que a_1 + 3, a_2 - 3, a_3 - 3 estejam em progressão geométrica. Dado ainda que a_1 > 0 e a_2 = 2, conclui-se que r é igual a

A
3 + \sqrt{3}
B
3 + \frac{\sqrt{3}}{2}
C
3 + \frac{\sqrt{3}}{4}
D
3 - \frac{\sqrt{3}}{2}
E
3 - \sqrt{3}

Answer 1

Questão 74 da FUVEST 2010

1ª fase

Os números a_1, a_2, a_3 formam uma progressão aritmética de razão r, de tal modo que a_1 + 3, a_2 - 3, a_3 - 3 estejam em progressão geométrica. Dado ainda que a_1 > 0 e a_2 = 2, conclui-se que r é igual a

A
3 + \sqrt{3}
B
3 + \frac{\sqrt{3}}{2}
C
3 + \frac{\sqrt{3}}{4}
D
3 - \frac{\sqrt{3}}{2}
E
3 - \sqrt{3}

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Resolução comentada

Como a_2 = 2 e a PA tem razão r, temos a_1 = 2 - r e a_3 = 2 + r.

Os três números em PG são:

a_1 + 3 = 5 - r, \quad a_2 - 3 = -1, \quad a_3 - 3 = r - 1.

Em uma PG de três termos, o termo do meio ao quadrado é igual ao produto dos extremos:

(-1)^2 = (5 - r)(r - 1)
1 = 5r - 5 - r^2 + r
r^2 - 6r + 6 = 0

Resolvendo: \Delta = 36 - 24 = 12, então

r = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 3 \pm \sqrt{3}.

Agora usamos a condição a_1 > 0, ou seja, 2 - r > 0, logo r < 2.

r = 3 + \sqrt{3} \approx 4{,}73: não serve, pois daria a_1 < 0.
r = 3 - \sqrt{3} \approx 1{,}27: serve, pois a_1 \approx 0{,}73 > 0.

Portanto r = 3 - \sqrt{3}.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa A engana quem para na equação do segundo grau e esquece de usar a_1 > 0 para descartar a raiz 3 + \sqrt{3}.

Por que as outras alternativas estão erradas

AÉ a outra raiz da equação, mas com ela a_1 = 2 - r < 0, violando a_1 > 0.
BNão é raiz de r^2 - 6r + 6 = 0; vem de erro ao resolver a equação do segundo grau.
CNão é raiz da equação; resulta de erro na fórmula de Bhaskara.
DNão é raiz da equação; o \sqrt{3} não deveria ser dividido por 2.

Assuntos: progressão aritmética, progressão geométrica, equação do segundo grau.

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