Questão 73 da FUVEST 2010

1ª fase

Tendo em vista as aproximações \log_{10} 2 \simeq 0{,}30, \log_{10} 3 \simeq 0{,}48, então o maior número inteiro n, satisfazendo 10^n \le 12^{418}, é igual a

  1. A
    424
  2. B
    437
  3. C
    443
  4. D
    451
  5. E
    460
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Resolução comentada

Queremos o maior inteiro n tal que 10^n \le 12^{418}. Aplicando \log_{10} (função crescente, mantém a desigualdade), temos n \le 418\cdot\log_{10}12. Logo, n é a parte inteira de 418\cdot\log_{10}12.

Passo a passo:

  1. Fatore: 12 = 2^2\cdot 3.
  2. Use as propriedades do logaritmo: \log_{10}12 = 2\log_{10}2 + \log_{10}3.
  3. Substitua as aproximações: \log_{10}12 \simeq 2\cdot 0{,}30 + 0{,}48 = 1{,}08.
  4. Multiplique por 418: 418\cdot 1{,}08 = 418 + 418\cdot 0{,}08 = 418 + 33{,}44 = 451{,}44.

Assim, n \le 451{,}44, e o maior inteiro que satisfaz isso é n = 451.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com o cálculo; não corresponde a 418\cdot 1{,}08.
  • BErra a conta do logaritmo de 12, por exemplo usando \log 12 \simeq 1{,}05; não chega a 451{,}44.
  • CErro de conta na multiplicação 418\cdot 1{,}08 ou no valor de \log 12.
  • EUsa um valor de \log 12 grande demais (cerca de 1{,}10), superestimando o expoente.

Assuntos: logaritmos, propriedades do logaritmo, desigualdades exponenciais.

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