Questão 72 da FUVEST 2010

1ª fase

Na figura, o triângulo ABC é retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o ponto D pertence ao cateto \overline{AB}, o ponto E pertence ao cateto \overline{BC} e o ponto F pertence à hipotenusa \overline{AC}, de tal forma que DECF seja um paralelogramo. Se DE = 3/2, então a área do paralelogramo DECF vale

Triângulo retângulo ABC com ângulo reto em B, cateto vertical AB e cateto horizontal BC. O ponto D está em AB, E em BC e F na hipotenusa AC, formando o paralelogramo DECF.

  1. A
    \dfrac{63}{25}
  2. B
    \dfrac{12}{5}
  3. C
    \dfrac{58}{25}
  4. D
    \dfrac{56}{25}
  5. E
    \dfrac{11}{5}
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Resolução comentada

Coloque B na origem, C=(3,0) e A=(0,4). Como D está em AB, D=(0,d). Como E está em BC, E=(e,0).

No paralelogramo DECF, DF \parallel EC, então DF é horizontal, paralelo a BC. Logo DF \parallel BC e o triângulo ADF é semelhante ao triângulo ABC.

Também DF = EC (lados opostos), e DE = FC = 3/2.

  1. Seja BE = x. Então EC = 3 - x e DF = 3 - x.
  2. Semelhança de ADF com ABC: \dfrac{DF}{BC}=\dfrac{AD}{AB}, ou seja, \dfrac{3-x}{3}=\dfrac{AD}{4}, então AD=\dfrac{4(3-x)}{3}.
  3. Assim BD = 4 - AD = 4-\dfrac{4(3-x)}{3}=\dfrac{4x}{3}.
  4. No triângulo retângulo DBE: DE^2 = BD^2 + BE^2, ou seja, \dfrac{9}{4}=\dfrac{16x^2}{9}+x^2=\dfrac{25x^2}{9}.
  5. Então x^2=\dfrac{81}{100}, x=\dfrac{9}{10}.

Agora: BD=\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{9}{10}=\dfrac{6}{5} e EC=3-\dfrac{9}{10}=\dfrac{21}{10}.

A área do paralelogramo é base vezes altura. Tomando a base EC, a altura é a distância de D à reta BC, que é BD:

A = EC\cdot BD=\dfrac{21}{10}\cdot\dfrac{6}{5}=\dfrac{126}{50}=\dfrac{63}{25}

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Bvalor que não resulta de EC\cdot BD; ignora que EC=21/10 e BD=6/5.
  • Cresultado de conta incorreta, sem relação com a base EC e a altura BD.
  • Dresultado de conta incorreta, sem relação com a base EC e a altura BD.
  • Evalor arredondado que não sai de EC\cdot BD.

Assuntos: semelhança de triângulos, área de paralelogramo, teorema de Pitágoras.

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