Questão 79 da FUVEST 2009

1ª fase

O ângulo \theta formado por dois planos \alpha e \beta é tal que \tg \theta = \frac{\sqrt{5}}{5}. O ponto P pertence a \alpha e a distância de P a \beta vale 1. Então, a distância de P à reta intersecção de \alpha e \beta é igual a

  1. A
    \sqrt{3}
  2. B
    \sqrt{5}
  3. C
    \sqrt{6}
  4. D
    \sqrt{7}
  5. E
    \sqrt{8}
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Resolução comentada

Sejam r a reta de intersecção dos planos, H o pé da perpendicular de P a \beta e M o pé da perpendicular de P a r (dentro de \alpha).

Como PH \perp \beta e PM \perp r, o teorema das três perpendiculares garante que HM \perp r. Assim, o ângulo P\hat{M}H mede o ângulo \theta entre os planos.

No triângulo retângulo PHM (reto em H):

  • PH = 1 é o cateto oposto a \theta (distância de P a \beta);
  • PM = d é a hipotenusa (distância de P a r), que queremos achar.

Como \tg\theta = \frac{\sqrt5}{5} = \frac{1}{\sqrt5}, o cateto oposto vale 1 e o adjacente HM=\sqrt5.

Por Pitágoras:

d^2 = 1^2 + (\sqrt5)^2 = 1 + 5 = 6
d = \sqrt6

Conferindo pelo seno: \sen\theta = \frac{1}{\sqrt6}, e \sen\theta = \frac{PH}{PM} = \frac{1}{d}, então d=\sqrt6.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa B engana: \sqrt5 é o cateto adjacente (distância da projeção de P à reta), não a distância de P à reta, que é a hipotenusa.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão corresponde a nenhuma relação do triângulo; ignora que a hipotenusa é \sqrt{1+5}.
  • BToma o cateto adjacente \sqrt5 (distância de H a r) como se fosse a distância de P à reta.
  • DValor sem relação com o triângulo de catetos 1 e \sqrt5.
  • EValor sem relação com o triângulo de catetos 1 e \sqrt5.

Assuntos: geometria espacial, ângulo entre planos, trigonometria no triângulo retângulo.

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