Questão 78 da FUVEST 2009

Question

Um fabricante de cristais produz três tipos de taças para servir vinho. Uma delas tem o bojo no formato de uma semi-esfera de raio r ; a outra, no formato de um cone reto de base circular de raio 2r e altura h; e a última, no formato de um cilindro reto de base circular de raio x e altura h.

Sabendo-se que as taças dos três tipos, quando completamente cheias, comportam a mesma quantidade de vinho, é correto afirmar que a razão \frac{x}{h} é igual a

A
\frac{\sqrt{3}}{6}
B
\frac{\sqrt{3}}{3}
C
\frac{2\sqrt{3}}{3}
D
\sqrt{3}
E
\frac{4\sqrt{3}}{3}

Answer 1

Questão 78 da FUVEST 2009

1ª fase

Um fabricante de cristais produz três tipos de taças para servir vinho. Uma delas tem o bojo no formato de uma semi-esfera de raio r ; a outra, no formato de um cone reto de base circular de raio 2r e altura h; e a última, no formato de um cilindro reto de base circular de raio x e altura h.

Sabendo-se que as taças dos três tipos, quando completamente cheias, comportam a mesma quantidade de vinho, é correto afirmar que a razão \frac{x}{h} é igual a

A
\frac{\sqrt{3}}{6}
B
\frac{\sqrt{3}}{3}
C
\frac{2\sqrt{3}}{3}
D
\sqrt{3}
E
\frac{4\sqrt{3}}{3}

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Resolução comentada

Se as três taças comportam o mesmo volume, basta igualar as fórmulas de volume e isolar o que o enunciado pede.

Semiesfera de raio r: V = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\pi r^3 = \dfrac{2}{3}\pi r^3.
Cone de raio da base 2r e altura h: V = \dfrac{1}{3}\pi (2r)^2 h = \dfrac{4}{3}\pi r^2 h.
Cilindro de raio x e altura h: V = \pi x^2 h.

Igualando semiesfera e cone, descobrimos a relação entre r e h:

\dfrac{2}{3}\pi r^3 = \dfrac{4}{3}\pi r^2 h \;\Rightarrow\; r = 2h \;\Rightarrow\; h = \dfrac{r}{2}.

Igualando cone e cilindro:

\pi x^2 h = \dfrac{4}{3}\pi r^2 h \;\Rightarrow\; x^2 = \dfrac{4r^2}{3} \;\Rightarrow\; x = \dfrac{2r}{\sqrt{3}}.

Agora a razão pedida, usando h = r/2:

\dfrac{x}{h} = \dfrac{2r/\sqrt{3}}{r/2} = \dfrac{4}{\sqrt{3}} = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa C engana: x=2r/\sqrt{3} dá 2\sqrt{3}/3 em relação a r, mas a razão pedida é em relação a h=r/2.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor muito pequeno, que não sai da igualdade dos volumes; provavelmente vem de erro ao isolar h ou x.
BResulta de usar h=r ou de esquecer o fator 2 em h=r/2 e no raio 2r do cone.
CÉ o valor de x/r, não de x/h; falta dividir por h=r/2.
DNão corresponde ao resultado de nenhuma igualdade correta dos volumes.

Assuntos: volume de sólidos, cone, cilindro e esfera.

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