Questão 77 da FUVEST 2009
Considere, no plano cartesiano Oxy, a circunferência C de equação (x-2)^2 + (y-2)^2 = 4 e sejam P e Q os pontos nos quais C tangencia os eixos Ox e Oy, respectivamente.
Seja PQR o triângulo isósceles inscrito em C, de base \overline{PQ}, e com o maior perímetro possível.
Então, a área de PQR é igual a
- A2\sqrt{2} - 2
- B2\sqrt{2} - 1
- C2\sqrt{2}
- D2\sqrt{2} + 2
- E2\sqrt{2} + 4
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Resolução comentada
A circunferência tem centro (2,2) e raio 2, então tangencia os eixos em P=(2,0) (eixo Ox) e Q=(0,2) (eixo Oy).
O triângulo é isósceles de base PQ, logo R está na mediatriz de PQ. Essa mediatriz é a reta y=x, que passa pelo centro (2,2) e corta a circunferência em dois pontos.
-
Os pontos são (2+\sqrt{2},\,2+\sqrt{2}) e (2-\sqrt{2},\,2-\sqrt{2}), pois (x-2)^2+(x-2)^2=4 dá x-2=\pm\sqrt{2}.
-
Com PQ fixo, o perímetro é maior quando RP=RQ é maior, ou seja, quando R está mais longe da base. A base está do lado da origem, então o melhor R é o ponto mais afastado: R=(2+\sqrt{2},\,2+\sqrt{2}).
-
Base: PQ=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}.
-
Altura: distância de R ao ponto médio M=(1,1) de PQ. Como M e R estão na reta y=x, essa distância é \sqrt{2}\,(x_R-1)=\sqrt{2}(1+\sqrt{2})=\sqrt{2}+2.
-
Área:
Alternativa D.
Pegadinha: A alternativa A (e também o triângulo com R no ponto mais próximo da origem) engana quem escolhe o ponto (2-\sqrt{2},2-\sqrt{2}), que dá o menor perímetro, não o maior.
Por que as outras alternativas estão erradas
- ANão corresponde a nenhuma área do triângulo; resulta de erro na altura ou de subtrair em vez de somar.
- BValor sem sentido geométrico, vindo de erro de conta na altura.
- CEsquece de somar a parte da altura que vai da base ao centro, usando apenas metade do resultado.
- EErra a altura, somando 4 em vez de 2 ao termo 2\sqrt{2}.
Assuntos: geometria analítica, circunferência, área de triângulo.
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