Questão 76 da FUVEST 2009

Question

A figura representa sete hexágonos regulares de lado 1 e um hexágono maior, cujos vértices coincidem com os centros de seis dos hexágonos menores. Então, a área do pentágono hachurado é igual a

Sete hexágonos regulares idênticos dispostos lado a lado, com um hexágono central e seis hexágonos periféricos, sobrepostos por um hexágono maior cujos vértices coincidem com os centros dos seis hexágonos periféricos. A região de sobreposição que forma um pentágono acima do hexágono central está preenchida com hachuras verticais.

A
3\sqrt{3}
B
2\sqrt{3}
C
\frac{3\sqrt{3}}{2}
D
\sqrt{3}
E
\frac{\sqrt{3}}{2}

Answer 1

Questão 76 da FUVEST 2009

1ª fase

A figura representa sete hexágonos regulares de lado 1 e um hexágono maior, cujos vértices coincidem com os centros de seis dos hexágonos menores. Então, a área do pentágono hachurado é igual a

Sete hexágonos regulares idênticos dispostos lado a lado, com um hexágono central e seis hexágonos periféricos, sobrepostos por um hexágono maior cujos vértices coincidem com os centros dos seis hexágonos periféricos. A região de sobreposição que forma um pentágono acima do hexágono central está preenchida com hachuras verticais.

A
3\sqrt{3}
B
2\sqrt{3}
C
\frac{3\sqrt{3}}{2}
D
\sqrt{3}
E
\frac{\sqrt{3}}{2}

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Resolução comentada

Um hexágono regular de lado 1 tem área 6\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}.

Os centros dos hexágonos periféricos estão a distância \sqrt{3} do centro (distância entre centros de hexágonos vizinhos é o dobro do apótema, 2\cdot\frac{\sqrt3}{2}). Logo, o hexágono maior tem lado \sqrt{3} e área \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot(\sqrt{3})^2=\frac{9\sqrt{3}}{2}.

O hexágono maior é formado por: o hexágono central (área \frac{3\sqrt3}{2}), e o que sobra é \frac{9\sqrt3}{2}-\frac{3\sqrt3}{2}=3\sqrt{3}. Essa sobra se divide em 6 pedaços congruentes (um em cada lado do hexágono central), cada um dentro de um hexágono periférico e tocando um lado do central; cada pedaço é o pentágono hachurado, que é a região entre o lado do hexágono central e o hexágono maior.

Portanto, cada um dos 6 pentágonos tem área:

\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}

Conferindo: a região entre o hexágono central e o maior é formada por 6 pentágonos? Na figura, os vértices do hexágono maior ficam nos centros dos periféricos, e cada pentágono fica acima de um lado do central, limitado pelos dois lados do hexágono maior que se encontram no vértice superior. Isso coincide com a divisão em 6 partes iguais por simetria.

A área do pentágono hachurado é \frac{\sqrt{3}}{2}.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AÉ a área entre os dois hexágonos inteira, sem dividir pelos 6 pentágonos.
BNão corresponde a nenhuma etapa correta do cálculo de áreas.
CÉ a área de um hexágono de lado 1, não do pentágono.
DDobra o valor correto, dividindo a região por 3 em vez de 6.

Assuntos: área de hexágonos regulares, razão de semelhança.

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