Questão 75 da FUVEST 2009

1ª fase

O número real a é o menor dentre os valores de x que satisfazem a equação 2\text{log}_2(1 + \sqrt{2}\ x) - \text{log}_2(\sqrt{2}\ x) = 3.

Então, \text{log}_2\left(\dfrac{2a + 4}{3}\right) é igual a

  1. A
    \dfrac{1}{4}
  2. B
    \dfrac{1}{2}
  3. C
    1
  4. D
    \dfrac{3}{2}
  5. E
    2
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Resolução comentada

Condição de existência: \sqrt{2}\,x>0, ou seja, x>0 (e então 1+\sqrt{2}\,x>0 também vale).

Use a propriedade 2\log_2 A=\log_2 A^2 e depois \log_2 A-\log_2 B=\log_2\frac{A}{B}:

\log_2\dfrac{(1+\sqrt{2}\,x)^2}{\sqrt{2}\,x}=3

Pela definição de logaritmo, o argumento vale 2^3=8:

  1. (1+\sqrt{2}\,x)^2=8\sqrt{2}\,x
  2. Chame y=\sqrt{2}\,x: (1+y)^2=8y, logo y^2+2y+1-8y=0, ou seja, y^2-6y+1=0.
  3. y=\dfrac{6\pm\sqrt{36-4}}{2}=3\pm2\sqrt{2}.

As duas raízes são positivas, então ambas servem. O menor x corresponde ao menor y: y=3-2\sqrt{2}, e a=\dfrac{y}{\sqrt{2}}.

Agora, 2a=\sqrt{2}\,y, pois 2a=\dfrac{2y}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\,y:

2a=\sqrt{2}(3-2\sqrt{2})=3\sqrt{2}-4

Então 2a+4=3\sqrt{2} e

\dfrac{2a+4}{3}=\sqrt{2}

Portanto \log_2\sqrt{2}=\log_2 2^{1/2}=\dfrac{1}{2}.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AResultado sem correspondência com o cálculo; erra ao tratar \log_2\sqrt{2} como 1/4.
  • CSupõe que o argumento seja 2 em vez de \sqrt{2}, esquecendo que \log_2\sqrt{2}=1/2.
  • DConfunde com \log_2 (2\sqrt{2}), ou seja, usa um argumento errado.
  • ECorresponde a argumento 4; não conclui que (2a+4)/3=\sqrt{2}.

Assuntos: logaritmos, equação logarítmica, equação do segundo grau.

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