Questão 74 da FUVEST 2009

1ª fase

Os comprimentos dos lados de um triângulo ABC formam uma PA. Sabendo-se também que o perímetro de ABC vale 15 e que o ângulo \hat{A} mede 120^\circ, então o produto dos comprimentos dos lados é igual a

  1. A
    25
  2. B
    45
  3. C
    75
  4. D
    105
  5. E
    125
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Resolução comentada

Se os lados estão em PA, podemos chamá-los de a-r, a e a+r. O perímetro é a soma: 3a = 15, logo a = 5. Os lados são 5-r, 5 e 5+r, com r>0.

O maior ângulo fica oposto ao maior lado. Como \hat{A}=120^\circ é obtuso (o maior ângulo), o lado oposto a ele é o maior, 5+r.

Pela lei dos cossenos:

(5+r)^2 = (5-r)^2 + 5^2 - 2\cdot(5-r)\cdot 5\cdot\cos 120^\circ

Como \cos 120^\circ = -\tfrac12, o último termo vira +5(5-r):

  1. Lado esquerdo: 25 + 10r + r^2.
  2. Lado direito: 25 - 10r + r^2 + 25 + 25 - 5r = 75 - 15r + r^2.
  3. Igualando: 25 + 10r = 75 - 15r, então 25r = 50 e r = 2.

Os lados medem 3, 5 e 7. Conferindo o perímetro: 3+5+7=15. ✓

Produto dos lados: 3\cdot 5\cdot 7 = 105.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão corresponde a nenhum produto dos lados 3, 5 e 7; valor sem relação com o cálculo.
  • BSeria o produto caso os lados fossem 3, 3 e 5, o que não forma uma PA de perímetro 15.
  • CÉ 5\cdot 15, misturando o lado médio com o perímetro em vez de multiplicar os três lados.
  • EÉ 5^3, supondo todos os lados iguais a 5 e ignorando a razão da PA.

Assuntos: progressão aritmética, lei dos cossenos.

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