Questão 73 da FUVEST 2009

1ª fase

O polinômio p(x) = x^3 + ax^2 + bx, em que a e b são números reais, tem restos 2 e 4 quando dividido por x - 2 e x - 1, respectivamente. Assim, o valor de a é

  1. A
    - 6
  2. B
    - 7
  3. C
    - 8
  4. D
    - 9
  5. E
    - 10
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Resolução comentada

Pelo teorema do resto, o resto da divisão de p(x) por x - c é p(c). Então:

  1. Divisão por x-2, resto 2: p(2)=2.
  2. Divisão por x-1, resto 4: p(1)=4.

Calculando cada valor com p(x)=x^3+ax^2+bx:

p(2)=8+4a+2b=2 \Rightarrow 4a+2b=-6 \Rightarrow 2a+b=-3
p(1)=1+a+b=4 \Rightarrow a+b=3

Subtraindo a segunda equação da primeira:

(2a+b)-(a+b)=-3-3 \Rightarrow a=-6

Então b=3-a=9.

Conferindo: p(2)=8-24+18=2 ✓ e p(1)=1-6+9=4 ✓.

Portanto a=-6.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BErro de sinal ou de conta ao resolver o sistema; não satisfaz p(1)=4 e p(2)=2.
  • CNão satisfaz o sistema 2a+b=-3 e a+b=3.
  • DValor que não confere: com a=-9 o sistema não fecha.
  • EValor que não confere: com a=-10 o sistema não fecha.

Assuntos: teorema do resto, polinômios, sistema linear.

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