Questão 72 da FUVEST 2009

Question

Na figura, B, C e D são pontos distintos da circunferência de centro O, e o ponto A é exterior a ela. Além disso,
(1) A, B, C e A, O, D são colineares;
(2) AB = OB;
(3) C\hat{O}D mede \alpha radianos.

Circunferência de centro O com reta secante passando pelos pontos colineares A, B e C, reta passando por A, O e D, e segmentos conectando o centro O aos pontos B e C

Nessas condições, a medida de A\hat{B}O, em radianos, é igual a

A
\pi - \dfrac{\alpha}{4}
B
\pi - \dfrac{\alpha}{2}
C
\pi - \dfrac{2\alpha}{3}
D
\pi - \dfrac{3\alpha}{4}
E
\pi - \dfrac{3\alpha}{2}

Answer 1

Questão 72 da FUVEST 2009

1ª fase

Na figura, B, C e D são pontos distintos da circunferência de centro O, e o ponto A é exterior a ela. Além disso,
(1) A, B, C e A, O, D são colineares;
(2) AB = OB;
(3) C\hat{O}D mede \alpha radianos.

Circunferência de centro O com reta secante passando pelos pontos colineares A, B e C, reta passando por A, O e D, e segmentos conectando o centro O aos pontos B e C

Nessas condições, a medida de A\hat{B}O, em radianos, é igual a

A
\pi - \dfrac{\alpha}{4}
B
\pi - \dfrac{\alpha}{2}
C
\pi - \dfrac{2\alpha}{3}
D
\pi - \dfrac{3\alpha}{4}
E
\pi - \dfrac{3\alpha}{2}

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Resolução comentada

Use o fato de que triângulos isósceles têm ângulos da base iguais e de que o ângulo externo de um triângulo é a soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele.

Seja x = B\hat{A}O.

Como AB = OB, o triângulo ABO é isósceles de base AO. Então B\hat{O}A = B\hat{A}O = x.
O ângulo C\hat{B}O é externo ao triângulo ABO, no vértice B. Logo C\hat{B}O = x + x = 2x.
Como OB = OC (raios), o triângulo OBC é isósceles de base BC. Então O\hat{C}B = C\hat{B}O = 2x.
O ângulo C\hat{O}D é externo ao triângulo AOC, no vértice O. Logo C\hat{O}D = B\hat{A}O + A\hat{C}O = x + 2x = 3x.
Como C\hat{O}D = \alpha, temos 3x = \alpha, ou seja, x = \dfrac{\alpha}{3}.

A questão pede A\hat{B}O. No triângulo ABO, a soma dos ângulos internos é \pi:

A\hat{B}O = \pi - 2x = \pi - \frac{2\alpha}{3}

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

ANão corresponde a nenhuma relação correta entre os ângulos; \alpha/4 surge de uma divisão errada do ângulo externo.
BSupõe 2x=\alpha/2, ignorando que o ângulo externo em O vale 3x.
DUsaria 2x = 3\alpha/4, o que não decorre da soma x+2x=\alpha.
EResultaria em 2x = 3\alpha/2, maior que \alpha, impossível pela relação 3x=\alpha.

Assuntos: ângulo externo de triângulo, triângulo isósceles, geometria plana.

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