Questão 5 da FUVEST 2008

1ª fase

Por recomendação médica, uma pessoa deve fazer, durante um curto período, dieta alimentar que lhe garanta um mínimo diário de 7 miligramas de vitamina A e 60 microgramas de vitamina D, alimentando-se exclusivamente de um iogurte especial e de uma mistura de cereais, acomodada em pacotes. Cada litro do iogurte fornece 1 miligrama de vitamina A e 20 microgramas de vitamina D. Cada pacote de cereais fornece 3 miligramas de vitamina A e 15 microgramas de vitamina D. Consumindo x litros de iogurte e y pacotes de cereais diariamente, a pessoa terá certeza de estar cumprindo a dieta se

  1. A
    x + 3y \ge 7 e 20x + 15y \ge 60
  2. B
    x + 3y \le 7 e 20x + 15y \le 60
  3. C
    x + 20y \ge 7 e 3x + 15y \ge 60
  4. D
    x + 20y \le 7 e 3x + 15y \le 60
  5. E
    x + 15y \ge 7 e 3x + 20y \ge 60
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Resolução comentada

A dieta exige mínimos diários: pelo menos 7 mg de vitamina A e pelo menos 60 µg de vitamina D. Isso leva a duas desigualdades do tipo "maior ou igual". Para montá-las, somamos o que cada alimento fornece, multiplicando a quantidade consumida pela quantidade de vitamina por unidade.

  1. Vitamina A: cada litro de iogurte dá 1 mg e cada pacote de cereais dá 3 mg. Com x litros e y pacotes, o total é 1\cdot x + 3\cdot y = x+3y mg. Como o mínimo é 7 mg:
x + 3y \ge 7
  1. Vitamina D: cada litro dá 20 µg e cada pacote dá 15 µg. O total é 20x + 15y µg. Como o mínimo é 60 µg:
20x + 15y \ge 60

As duas condições precisam valer ao mesmo tempo. Os sinais "\le" das alternativas B e D indicariam um limite máximo, o que contradiz o enunciado. Em C e E os coeficientes estão trocados: a vitamina A aparece com os valores da D (20 e 15), ou os coeficientes de um alimento ficam misturados com os do outro.

O sistema correto é x+3y\ge 7 e 20x+15y\ge 60.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BUsa "menor ou igual", que representa um máximo, mas a dieta exige um mínimo.
  • CTroca os coeficientes: coloca 20 e 3 na vitamina A, misturando os dados dos dois alimentos.
  • DAlém de trocar os coeficientes, usa o sentido "menor ou igual", que é o errado.
  • EUsa coeficientes errados (15 e 3, 20), misturando as vitaminas A e D dos alimentos.

Assuntos: sistema de inequações, modelagem algébrica.

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